Основы математической модели

Математическая модель — математическое представление реальности, один из вариантов модели, как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе.

Процесс построения и изучения математических моделей называется математическим моделированием.

Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты.

По А.А. Ляпунову, математическое моделирование — это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель). Эта система находится в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом, способная замещать его в определенных отношениях и дающая при её исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте.

В других вариантах, математическая модель определяется как объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала, как ««эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства — законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям». А также она может определяться как система уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических фигур, или комбинация того и другого. Исследование таких отношений с помощью средств математики должно ответить на поставленные вопросы о свойствах некоторой совокупности свойств объекта реального мира, как совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств, описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе.

Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий. Например, один из популярных наборов дихотомий:

- Линейные или нелинейные модели;

- Сосредоточенные или распределённые системы;

- Детерминированные или стохастические;

- Статические или динамические;

- Дискретные или непрерывные.

и так далее. Каждая построенная модель является одним из таких наборов. Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные (по части параметров), в другом — распределённые модели и так далее.

Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способу представления объекта: структурные или функциональные модели.

Структурные модели представляют объект как систему со своим устройством и механизмом функционирования. Функциональные модели не используют таких представлений и отражают только внешне воспринимаемое поведение (функционирование) объекта. В их предельном выражении они называются также моделями «чёрного ящика». Возможны также комбинированные типы моделей, которые иногда называют моделями «серого ящика».

Математические модели сложных систем можно разделить на три типа:

- Модели типа чёрный ящик (феноменологические),

- Модели типа серый ящик (смесь феноменологических и механистических моделей),

- Модели типа белый ящик (механистические, аксиоматические).

Практически все авторы, описывающие процесс математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция, содержательная модель. Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторы называют этот идеальный объект концептуальная модель, умозрительная модель или предмодель. При этом финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели (пред модели). Построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций, как в механике, где идеальные пружины, твёрдые тела, идеальные маятники, упругие среды и так далее дают готовые структурные элементы для содержательного моделирования. Однако в областях знания, где не существует полностью завершенных формализованных теорий (передний край физики, биологии, экономики, социологии, психологии, и большинства других областей), создание содержательных моделей резко усложняется.

К базовым алгоритмам построения 2D-моделей можно отнести модели построения основных примитивов: линия, прямоугольник, круг. Для их визуализации используются следующие математические модели.

Для построения прямой линии воспользуемся формулой вычисления координат (1):

Y= kX+ C (1).

Алгоритм вывода прямой последовательно вычисляет координаты точки и выбирает ближайшую к истинному значению. 

Для того, чтобы нарисовать окружность для определения координат выводимых точек используется формула окружности (2):

R²= X²+ Y² (2)

 Алгоритм вывода окружности поcследовательно генерирует координаты очередной точки окружности и выбирает ближайшую к истинной окружности точку.

Для построения прямоугольника используется соотношение для построения прямой по двум точкам с координатами прямых (X1,Y1)  и (X1, Y2), (X1,Y1) и (X2, Y1), (X2,Y1) и (X2, Y2), (X2,Y1) и  (X2, Y2).