Оценка эволюции моментов временного ряда.

Известно, что точность стандартных регрессионных и автокорреляционных моделей невысока, а в случае применения таких моделей для прогнозирования ошибка даже возрастёт. Если провести проверку, которая покажет степень стационарности ряда, можно будет выбрать наиболее адекватную модель, которая будет учитывать периодические вариации остатков. Конечно, при работе с реальными данными сведение ряда к стационарности не всегда осуществимо, вследствие чего работа сводится к анализу существенно нестационарного ряда [11].

Итак, стационарным в широком смысле ряд называется в том случае, если счётное количество моментов этого ряда не зависит от времени. Для распределений таким образом можно определить стационарность в узком смысле. Ввиду того, что дисперсия или среднее могут быть одинаковы для разных распределений, мы сосредоточимся на последнем аспекте. Следует также учитывать возрастающую точность прогноза, построенного на основе ФР, хоть данный прогноз и связан с использованием процедур большей сложности.

Проверим, можно ли применить теорему Гливенко и критерий согласия Колмогорова для выяснения вида распределения данного ряда [2]. Для этого, прежде всего, необходимо определить, стационарен ли ряд, составленный из остатков или их разностей (первых или выше). Таким образом, имея некоторое количество выборок с эмпирической ФР , которые являются частями единой генеральной совокупности с теоретической ФР , чьи параметры неизвестны, то

1.1.12

Также ФР величины  стремится к :

Проанализируем ряд (для примера)  с помощью критерия Фостера-Стюарта, который обычно используется только при условии предположения о том, что все с.в. имеют нормальное распределение. Однако, так как в данный момент мы нуждаемся лишь в качественном ответе, мы также можем его применить [14]. Производные случайные ряды из 0 и 1, позволяющие обнаружить тренд в минимумах и максимумах данного ряда, которые используются стастистиками вышеуказанного критерия:

Используются следующие статистики:

Если тренд не обнаруживается, следующие величины:

будут иметь распределение Стьюдента с  степенями свободы. Пусть  – гамма-квантиль этого распределения (т.е. такая t, что ). Тогда, если и  больше , с доверительной вероятностью , то мы будем вынуждены отклонить гипотезу об отсутствии трендов. Пусть  Тогда расчётные показания статистик  будем анализировать в сравнении с квантилями .

Если принять  для исходного ряда, то . Получаем: После соответствующих вычислений было обнаружено, что с высокой вероятностью (80-90%) в дисперсии присутствует тренд, следовательно, ряд не стационарен в широком смысле.

1.2 Обзор современных исследований в области временных рядов

В статье [1] рассматриваются задачи анализа нестационарных временных рядов с явными и неявными изменениями свойств. Раздел 1 даёт рекомендации по работе с тренд-стационарными и разностно-стационарными процессами, предоставляя варианты определения типа процесса посредством различных критериев, среди которых расширенный критерий Дики-Фуллера, Филлипса-Перрона, Квятковского-Филлипса-Шмидта-Шина, DF-GLS. В разделе 2 объясняются наиболее применимые подходы и способы анализа нестационарных рядов. Вводятся обозначения «коинтеграция» и «ложная регрессия», предлагаются векторные модели авторегрессии, методы выявления ранее описанных проблем (такие как, например, Энгла и Грейнджера или Йохансена). Раздел 3 включает методы работы с нестационарными рядами, содержащими разрывы структуры. Приводится таблица подходов для обнаружения данной проблемы, даются рекомендации по выявлению и исправлению коинтеграции в этих процессах. Во всём обзоре представлены алгоритмы классификации типа ряда, которые основываются на проверке нулевой гипотезы о том, что “исходный процесс является DS-процессом (TS-процессом)”. Приводятся случаи изменений разного вида (например, явных и неявных), а также этапы нахождения их в текущем и апостериорном режимах.

В работе [2] приводятся авторегрессионные модели ВР, рассматриваются проблемы создания разностных схем, если существуют помехи разного рода (аддитивные и мультипликативные). Помехи первого рода (детерминированные) предлагается устранять с посредством “формирующего фильтра”, настроенного непосредственно на него. Кроме того, демонстрируется, что наличие шума такого рода имеет следствием смещение оценок коэффициентов разностных схем. Приводятся также различные способы корретировки смещенности оценок. Как результат, в статье доказано, что оба типа белого шума в значительной мере близки друг к другу, и при необходимости есть возможность взаимозамены данных моделей. Также произведен вычислительный эксперимент, где генерируется тестовый временной ряд и белый шум как выборка из генеральной совокупности. Делаются выводы о возможности описания данного рода помех с помощью АР-моделей.

В исследовании [3] прежде всего разъясняются его цели и актуальность, приводятся аргументы в пользу его новизны. Рассматривается эмпирическое уравнение Луивиля применительно к нестационарным процессам, иерархии зацепляющихся процессов, а также выборочной плотности функции распределения. Кроме того, посредством кинетических уравнений производится построение моделей ВР с использованием уравнений, описывающих эволюцию многомерных выборочных плотностей, и прочих моделей ВР. Рассматривается тип моделей, называемых гидродинамическими, для этого приводится как концепция данного понятия, так и способы (и уточнения к ним) замыкания моментной системы. На примере курса USD к RUB строится гидродинамическая модель выборочной функции распределения.

В работе [4] приводится один из методов статистического анализа нестационарных ВР, где присутствует явная цикличность данных, с использованием уравнения эволюции эмпирической ФР. Исследования проиллюстрированы примером, которым является ВР цен на электроэнергию на Оптовом рынке электроэнергии и мощности. Проводится сравнительный анализ точности нескольких основных способов аппроксимации ВР (построены модели: регрессионная остатков и автокорреляционная). Используются также выборочная ФР и критерий ɛ-стационарности для решения задачи о прогнозировании значений ряда. Сделаны выводы о способах определения объемов выборки и методах прогнозирования вне рамок стационарности. 

В статье [5] проведена классификация группы ВР в соответствии с особенностями их нестационарного характера с использованием анализа близости ВФР для приращений компонентов данного ряда. Предлагается методика построения индекса нестационарности на примере пятидесяти рядов минутных цен закрытия акций компаний-членов индекса РТС. Для всех рядов определяются собственные индексы нестационарности, которые определяют длину выборки, где ряд имеет стационарное выборочное распределение приростов, и длину, где наблюдается максимально нестационарное поведение.

В исследовании [6] приведены определения и реальные примеры из практики приближенного разложения ВПВ по системе базисных паттернов для нестационарного ВР. В разделе 1 данной работы анализируется оптимальное разложение вектора по этой системе, а в разделе 2 иллюстрируется разложение состояния по двумерному базису. Далее производится анализ точности разложения выборочных состояний ВР, а также рассматривается разложение по трём базисам. В заключение, автор статьи исследует динамику элементов разложения вектора по паттернам в качестве предиктора состояния. В итоге разработана методика создания таких паттернов для решения проблемы статистического распознавания определенного типа состояния элемента ВР и построена статистика, имеющая свойства предиктора разладки трендового состояния.

Прежде всего, в работе [7] однозначно обозначаются цели исследования, его актуальность и новизна. Далее авторы рассматривают горизонтный ряд в качестве показателя уровня хаоса посредством определения данного понятия, нахождения и описания свойств горизонтной статистики, а также в качестве индикаторов разрядки рассматриваются скачки значений данного ряда. Затем исследование иллюстрируются примером, которым является проверка текста на однородность. После этого, в разделе 3, авторы переходят к исследованию статистической добротности ВР через согласованный уровень стационарности и доли стационарно объясняемых отклонений. Для этого находятся статистики меры хаоса в нестационарных ВР, для чего, в свою очередь, применяют горизонтные ряды и согласованные уровни нестационарности для ФР расстояний между выборочными распределениями. Посредством такого понятия, как статистическая добротность ряда находится оптимальный объем выборки для определения согласованного уровня нестационарности.

В работе [8] описан метод генерации траектории нестационарного ВР такой, что он не противоречит условиям, которые накладываются на эволюцию его ВФР. Также, в данном исследовании используется уравнение Лиувилля для выборочной плотности нестационарного распределения, благодаря чему становится возможным провести ассоциации с результирующим рядом неавтономную динамическую систему с хаосом. Оценка показателя Ляпунова находится для данной системы с использованием приближения квазистационарного распределения. Предложены перспективы использования результатов, полученных в ходе работы, для проведения дальнейших наблюдений и исследований по данной тематике.

В исследовании [9] рассматривается проблема метрического анализа и классификации ВР. Метрические методы основываются на матрице попарных расстояний, которая строится с использованием неизменной функции расстояния. Вычислительная сложность подобных алгоритмов как минимум квадратична в том, что касается числа ВР. Задача уменьшения вычислительной сложности решается с помощью предварительного выявления эталонных объектов, центроидов классов и, как следствие, их применение для описания классов. Базовой моделью классификации является, по мнению авторов, та, которая основывается на динамическом выравнивании ВР, с целью построить центроид. В данном исследовании выдвигается предложение ввести функцию весов центроида, которая будет влиять на измерение расстояния между объектами. Чтобы проанализировать алгоритм создания центроида, авторами использованы ВР некоторых элементарных функций, а также ВР физической активности человека, созданные с помощью акселерометр смартфона. Свойства построенной в данном исследовании модели выявляются, анализируются и сравниваются со свойствами другой базовой модели, которую выбрали для проведения этого эксперимента.

В работе [10] предлагается новый подход к исследованию ВР на предмет наличия закономерностей в пучках нестационарных k-значных ВР. Данный подход даёт возможность замечать закономерности, подвергающиеся “плавным” изменениям структуры с течением времени. Чтобы определить такие изменения введена мера сходства закономерностей. Для неё также приведён граф закономерностей, где она используется в качестве весов. Обнаруженные закономерности в теории будут применяться, в первую очередь, для предсказания последующих элементов пучка ВР, а также, чтобы проанализировать явления, которое описывается пучком. Кроме того, их можно использовать и для моделирования в принципе самого явления. Это открывает широкие перспективы для применения данного алгоритма в широком спектре задач прогнозирования ВР, а также в задачах исследования и описания процессов, представленных пучком ВР. Наравне с этим, в работе разработаны способы непосредственного применения на практике приведённых ранее прогноза временных рядов и, в целом, методов их анализа. Также рассматривается использование методов для прогнозирования модельных рядов и реального пучка ВР на коротких промежутках времени, где пучок составляется на основе данных о курсах акций компаний, основная деятельность которых так или иначе соотносится с данной областью компетенций.