В оптически неоднородной среде

 

В лабораторной работе проводится исследование особенностей распространения света в оптически неоднородной среде. В экспериментальной установке оптическая неоднородность среды формируется в области соприкосновения двух жидкостей с различными показателями преломления. В качестве жидкостей выбраны чистая вода и водный раствор поваренной соли (NаС1) с концентрацией до 20% (массовая концентрация). Благодаря диффузии, неоднородность в области границы раздела изменяется с течением времени, что будет сказываться на поведении пучка света, прошедшего через эту область. По результатам измерений зависимости максимального угла отклонения пучка света от времени предлагается определить коэффициент диффузии раствора соли. Схема экспериментальной установки представлена на рис 1.

Прохождение света в оптически неоднородной среде

 

1-оптическая скамья, 2-лазер, 3-кювета, 4-прошедший пучок света, 5-экран с линейкой
Рис. 1. Принципиальная схема экспериментальной установки.

Оптическая кювета создает плоскопараллельный слой жидкости. В области оптической неоднородности показатель преломления меняется только по вертикали (раствор соли помещается внизу кюветы, чтобы избежать влияния поля тяжести на диффузию). Поскольку показатель преломления п меняется достаточно плавно (относительное изменение показателя преломления на длине световой волны много меньше единицы), для описания распространения света удобно пользоваться геометрической оптикой, в рамках которой справедливо лучевое представление. Явление искривления лучей в оптически неоднородной среде носит название рефракции. В лучевом представлении ставится задача о нахождении уравнения кривой, соответствующей лучу света и, в некоторых случаях, устанавливается связь кривизны (радиуса кривизны) луча с градиентом показателя преломления. Изложим далее подход к решению этих задач.

Пусть задана неоднородная среда в пространстве . Показатель преломления меняется только вдоль оси у  причем, для определенности, . Если свет распространяется вдоль оси х,то лучи будут плоскими кривыми (лежащими в плоскостях ). Для установления связи радиуса кривизны   с градиентом показателя преломления выберем два бесконечно близких луча 1 и 1 ' (рис.2).

Рис. 2. Распространение света в неоднородной среде.

 

Выделим малые элементы  и  на этих лучах (считая их элементами окружностей). Поскольку  элемент окружности, то . Откуда

,

или, переходя к пределу,

         (1)

Кроме этого, поскольку лучи перпендикулярны к элементам плоскостей (1, 1 '), (2, 2 '), то эти элементы можно считать элементами волновых поверхностей. Оптические пути (1, 2) и (1 ', 2 ') обоих лучей одинаковы и для них верно соотношение:

.                                          (2)

Из (2) следует:

.                                           (3)

Уравнения (1) и (3) дают возможность установить связь величины радиуса кривизны   с изменением показателя преломления.

.                                                    (4)

Это соотношение можно записать в векторном виде. Поскольку  - изменение модуля радиуса вектора , то, вводя единичный вектор нормали к лучу , направленный к центру кривизны, получим:

,                                                  (5)

где скобками обозначено скалярное произведение векторов  и .

Использование (5) в общем случае для построения хода луча в неоднородной среде и расчёта его траектории является сложной задачей. Рассмотрим более простой метод описания распространения света в оптически неоднородной среде и нахождения уравнения траектории луча, проходящего через заданную точку М₀. Чтобы продемонстрировать идею метода, рассмотрим частный случай, в котором показатель преломления меняется только в одном направлении (вдоль оси у) и меняется достаточно плавно. В этом случае (рис.З) среду можно разбить на тонкие плоские слои, перпендикулярные оси у.

 

Рис. 3.Определение траектории луча, проходящего в неоднородной среде через точку М0.

Согласно закону преломления, при переходе луча из слоя  в слой  справедливо соотношение

     (6)

Или

, (7)

где точка  принадлежит нулевому слою. Так как

,

Можно получить выражение для производной  в виде:

.                                                 (8)

Здесь учтено, что . Отсюда следует соотношение

.                       (9)

Полученное соотношение (9) позволяет найти уравнение траектории луча , поскольку  считается заданным, а  и  - постоянные величины, заданные в точке М₀.

 

Характеристики оптически неоднородной среды в экспериментальной установке. Показатель преломления среды в оптической кювете меняется по вертикали . Эта зависимость, благодаря диффузии, изменяется с течением времени, так что   и ее можно найти, решая дифференциальное уравнение нестационарной диффузии с заданными начальными и граничными условиями. Уравнение нестационарной диффузии в нашем случае имеет вид:

                                                 (11)

где:  - концентрация раствора;  - коэффициент диффузии. Для растворов малых концентраций , показатель преломления п является линейной функцией концентрации  (  - показатель преломления растворителя), следовательно удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению:

                                                            (12)

с начальными условиями при :

.                                                                          (13)

Решение будем искать в виде , где .

При :

                                                     (14)

Подставляем предполагаемую форму решения в (12), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

                                                              (15)

при начальных условиях ():

                                                                   (15а)

Интегрируем (15) методом разделения переменных:

.                                                    (16)

Здесь  - постоянная интегрирования.

Отсюда, интегрируя ещё раз (16), находим:

                                                (17)

Постоянные интегрирования  и  определяются начальными и граничными условиями (15а), которые можно следующим образом интерпретировать. При переходе через границу раздела у = 0 показатель преломления меняется "скачком" от  до . При  этот "скачок" превращается в плавную кривую, вид которой подлежит определению (среда занимает большое пространство, так что  остается равным   При  и  при  (см.рис.4а). Отсюда следует, что, выбирая нижний предел интегрирования в (17) ,   становится равным  и (17) принимает вид:

.                             (18)

Если верхний предел выбрать равным , то п становится равным   и можно записать:

.                                      (19)

Поскольку , то  и для показателя преломления  в старых переменных будем иметь соотношение:

       (20)

Величина градиента показателя преломления определяется производной  т.е.:

                              (21)