Банк олимпиадных заданийпо математике

БАНК ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАНИЙПО МАТЕМАТИКЕ

 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

В трапеции ОРКТ с основаниями ОР и КТ диагонали пересекаются в точке М. Площадь треугольника ОРМ равна 72, площадь треугольника КТМ равна 50. Найдите площадь трапеции ОРКТ.

Решение: 

треугольники ОРМ и КТМ подобны, так как имеют взаимно параллельные стороны.

, где HL – высота трапеции, проведенная через точку пересечения диагоналей трапеции

 

Каково отношение площади закрашенной части к белой (вершины всех квадратов за исключением самого большого находятся в серединах

Соответствующих сторон)?

Прежде всего, нужно сделать рисунок покрупнее и провести вертикальные и горизонтальные линии, делящие квадрат на 16 маленьких квадратов. После этого сразу становится видно, что каждый квадратик, кроме четырех угловых, разбит на пару треугольников одинакового размера — синего и белого цвета. Угловые квадратики состоят из двух таких же треугольников, только они оба синего цвета.

Остается посчитать синие треугольники — их 20. И белые треугольники — их 12. Отношение синих к белым — 20:12 = 5: 3.

Получаем ответ: пять к трем.

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота CD. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника DBC в 3 раза больше площади треугольника ADC.

∟CAB =60⁰, ∟ CBA=30⁰.

Заметим, что треугольник CBD подобен треугольнику AВD

(свойство высоты прямоугольного треугольника). Но в подобных треугольниках отношение площадей

равно квадрату отношения соответственных сторон. Поэтому отношение гипотенуз

CB и CA этих треугольников равно 3. Значит, 3tg∟CAB= 3, откуда ∟CAB=60⁰

 

Некоторое количество прямых изобразили на бумаге так, что между ними есть углы величиной 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70°, 80°, 90°. Найдите наименьшее количество прямых, для которых такое возможно.

Решение: Заметим, что среди прямых, две обязательно должны быть перпендикулярны. Если две перпендикулярные прямые пересечь ещё двумя, острых углов может получиться не более пяти, как в случае, когда ни одна из этих двух прямых не проходит через точку пересечения перпендикулярных (на рисунке), так и в других случаях.

 

Имея же 5 прямых, мы можем построить требуемую конструкцию:

Ответ: 5.

 

 

В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен 3, гипотенуза равна 15. Найти периметр треугольника.

 

Решение:

На рисунке гипотенуза делится на отрезки х и 15-х, меньший катет на отрезки 3 и х, больший катет на отрезки 3 и 15-х. Получаем уравнение:

+

,

Ответ: 12+9+15=36

 

Сравнить (без помощи микрокалькулятора) числа:

 

Решение:

Пусть m=1995. Сравним квадрат данных чисел: (√m-1+√m+2)² =2m+1+2√m²+m-2;

(√m-1+√m+2)²=2m+1+2√m²+2.Отсюда вытекает, что второе число больше.

Число x при делении на 11 дает в остатке 7. Какой остаток при делении на 11 дает число 2 x ² +6 x?

Решение:

Записывая x=11k+7, получаем 2x²+6x=2(11k+7)(11k+10)=11(22k²+36k+12)+8, и искомый остаток равен 8.

 

Кенгуру мама прыгает за 1 секунду на 3 метра, а её маленький сынишка прыгает на 1 метр за 0,5 секунды. Они одновременно стартовали от бассейна к эвкалипту по прямой. Сколько секунд мама будет ждать сына под деревом, если расстояние от бассейна до дерева 240 метров

 

Решение:
1 шаг 240: 3 = 80 (с) скакала мама Кенгуру
2 шаг сын за 0,5 с - 1 м, за 1 с - 2 м
3 шаг 80 * 2 = 160 (м) проскачет кенгурёнок за 80 с
4 шаг 240 - 160 = 80 (м) осталось проскакать кенгурёнку когда
мама уже под эвкалиптом
5 шаг 80: 2 = 40 (с)
Ответ: 40 секунд.

 

В конкурсе участвовали 5 человек. На каждый вопрос один из них дал неправильный ответ, остальные — правильный. Число правильных ответов у Пети равно 10 — меньше, чем у любого другого. Число правильных ответов у Васи равно 13 — больше, чем у любого другого. Сколько всего вопросов было в конкурсе?

Решение:
Так как на каждый вопрос были даны 4 правильных ответа, общее число правильных ответов делится на 4. Поскольку Петя дал 10 верных ответов, Вася — 13, а остальные трое — от 11 до 12, то общее число правильных ответов не меньше, чем 10 + 13 + 3·11 = 56, и не больше, чем 10 + 13 + 3·12 = 59. Из чисел в этих пределах только 56 кратно 4, поэтому число вопросов равно

 

На велотреке одновременно уходят со старта 5 велосипедистов. Скорость первого равна 50 км/час, второго – 40 км/час, третьего – 30 км/час, четвертого –20 км/час, пятого – 10 км/час. Первый велосипедист считает количество велосипедистов, которых он обогнал. Какого велосипедиста он посчитал 21- м?

Решение: Из условия следует, что первый велосипедист едет быстрее второго на 10 км/ч, третьего – на 20 км/ч, четвертого – на 30 км/ч, а пятого – на 40 км/ч. Это означает, что когда первый догонит второго, он в этот момент во второй раз догонит третьего, в третий раз – четвертого, в четвертый раз – пятого. Значит, в этот момент у него будет 1 + 2 + 3 + 4 = 10 обгонов. В момент, когда он во второй раз обгонит второго велосипедиста, у него получится 20 обгонов, и в этот момент все велосипедисты

находятся рядом. Следующим будет обгон самого  медленного – пятого велосипедиста.

Ответ: Пятого велосипедиста

С каждого проданного килограмма свеклы фермер должен заплатить 20 % налога. Сколько денег заплатит фермер в бюджет со 150 кг свеклы, если ее цена с налогом – 7 руб. за 1 кг?

 

Решение:

1) 150*7=1050 (руб.) – стоимость 150 кг с налогом.

2) 1050:120*20=175 (руб.) – сумму заплатит фермер.

 

Старинные занимательные задачи: Хозяин нанял работника на год и обещал заплатить ему 12 руб. и в придачу кафтан. Но тот, проработав только 7 месяцев, захотел уйти. При расчете он получил кафтан и 5 руб денег. Сколько стоит кафтан?

 

Решение:

Работник не доработал у хозяина 5 месяцев и недополучил 7 руб. Значит, месячная его оплата в деньгах составляет  руб., или 1 руб. 40 копеек. Плата за 7 месяцев составит 7*  = 9  руб., или 9 руб. 80 копеек. Но работник за это время получил 5 руб. и кафтан. Значит, кафтан стоит 4 руб. 80 копеек.

 

В одной американской фирме каждый служащий является либо демократом, либо республиканцем. После того как один из республиканцев решил стать демократом, тех и других в фирме стало поровну. Затем ещё три республиканца решили стать демократами, и тогда демократов стало вдвое больше, чем республиканцев. Сколько служащих в этой фирме?

 

Решение:

Пусть в конце на фирме стало x республиканцев и 2 x демократов. До "обращения" трёх служащих республиканцев было x + 3,
а демократов x – 3, и эти числа равны. Следовательно, x = 6.

Ответ:18 служащих.

 

 

  В одном стакане было молоко, а в другом – столько же кофе. Из стакана молока перелили одну ложку в стакан с кофе и размешали. Затем такую же ложку смеси перелили обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: кофе в стакане с молоком или молока в стакане с кофе?

Подсказка: Всего кофе в двух стаканах столько же, сколько молока.

Решение:

Примем начальный объем жидкости в каждом стакане за 1. Таким образом, после всего в обоих стаканах имеется единичный объем кофе и единичный объем молока. Поскольку из первого стакана перелили во второй одну ложку, а затем из второго в первый перелили такую же ложку, то в конце в каждом стакане снова будет объем жидкости, равный 1. Пусть объем кофе в первом стакане после переливания равен x, а во втором стакане – y. Тогда молока во втором стакане – (1 – y). Поскольку в двух стаканах всего единичный объем кофе, x+y=1. Отсюда x=1 – y, т.е. кофе в стакане с молоком и молока в стакане с кофе поровну.

Ответ: поровну.

 

В семье Семеновых 5 человек: муж, жена, их сын, сестра мужа и отец жены. Все они работают. Один — инженер, другой — юрист, третий — слесарь, четвертый — экономист, пятый — учитель. Вот что еще известно о них. Юрист и учитель не кровные родственники. Слесарь — хороший спортсмен. Он пошел по стопам экономиста и играет в футбол за сборную завода. Инженер старше жены своего брата, но моложе, чем учитель. Экономист старше, чем слесарь. Назовите профессии каждого члена семьи Семеновых.

Решение: Перепишем условие задачи, занумеровав данные. 1) Юрист и учитель не кровные родственники. 2) Слесарь — хороший спортсмен. 3) Он пошел по стопам экономиста и играет в футбол за сборную завода. 4) Инженер старше жены своего брата, но моложе, чем учитель. 5) Экономист старше, чем слесарь. Назовите профессии каждого члена семьи Семеновых.
Слесарь мужского рода. Сестра старше брата 4), следовательно, сын самый молодой, следовательно, он не экономист.

	Сестра	Брат-муж	Жена	Сын	Отец жены
Инженер	+ 4)	−	−	−	−
Юрист	−
Слесарь	−		− 2), 3)
Экономист	−	−		− 4), 5)
Учитель	−	−	−	− 4)	+

Самый старший учитель, следовательно, это отец жены, но тогда (из 3)) отец сына − экономист, тогда сын − слесарь.

Ответ: Муж — юрист, жена — экономист, сын — слесарь, сестра мужа — инженер, отец жены — учитель.

 

Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Решение: Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается - 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет по ½ л воды.

 

 

Положены в ряд шесть белых и шесть черных шашек: белая, черная, белая, черная и т.д. Пользуя двумя свободными местами, требуется передвигая каждый раз только по две соседние шашки без изменения их взаимного расположения, в шесть перемещений расположить сначала все черные, а затем все белые шашки.

Решение:

 

		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
10	11	1	2	3	4	5	6	7	8	9			12
10	11	1	2	3	4	5	6			9	7	8	12
10	11	1			4	5	6	2	3	9	7	8	12
10	11	1	6	2	4	5			3	9	7	8	12
10			6	2	4	5	11	1	3	9	7	8	12
10	8	12	6	2	4	5	11	1	3	9	7

 

 

Только что срубленное дерево содержит 64% воды. Через неделю содержание воды в дереве стало ровно 48%. На сколько при этом уменьшился вес дерева, если только что срубленное дерево весило 7,5 центнеров (ответ дать в точности до 0,1 ц)?

Решение:

В только что срубленной древесине 7,5∙0,65=4,8 ц. воды. Тогда в сухой древесине 7,5∙4,8=2,7 ц. Сухая древесина через неделю составляет 52% веса дерева. следовательно, через неделю вес дерева равен 2,7:0,52=5,2 ц, а уменьшении веса составило приблизительно 7,5-5,2=2,3 ц.

 

 

Двое должны разделить поровну 8 ведер кваса, находящегося в восьмиведерном бочонке. Но у них есть только два пустых бочонка, в один и которых входит 5 ведер, а в другой – 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить этот квас, пользуясь только этими тремя бочонками?

 

Решение:

    

	Решение 1			Решение 2
	8 ведер	5 ведер	3 ведра	8 ведер	5 ведер	3 ведра
До переливания	8	0	0	8	0	0
После 1 переливания	3	5	0	5	0	3
После  2 переливания	3	2	3	5	3	0
После  3 переливания	6	2	0	2	3	3
После 4 переливания	6	0	2	2	5	1
После 5 переливания	1	5	2	7	0	1
После 6 переливания	1	4	3	7	1	0
После 7 переливания	4	4	0	4	1	3
После 8 переливания	-	-	-	4	4	0

 

Счетчик автомобиля показывал 12921км. Через два часа счетчик стал показывать число, которое одинаково читалось в обоих направлениях. С какой скоростью ехал автомобиль?

 

За вывод о том, что у автомобиля за 2 часа на счетчике будет число 13*31 – 1 балл;

За перебор вариантов с 0,1, 2,3 - 2 балла

0 – 55км/ч; 1 – 105км/ч; 2 – 155км/ч; 3 – 205км/ч.

За вывод и правильный ответ – 1 балл

155 и 205км/ч нельзя по ПДД

Ответ: 55км/ч или 105км/ч.

 

В трех кучках находится 22,14 и 12 орехов. Требуется путем трех перекладываний уравнять число орехов в каждой кучке, соблюдая при этом условие: из любой кучки разрешается перекладывать в другую, лишь, столько, сколько орехов в этой второй кучке имеется.    

Решение:

22 14 12

8 28 12

8 16 24

16 16 16

 

  Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок?

 

Решение: Вырежем из арбуза длинный тонкий цилиндр, протыкающий арбуз насквозь.

Это одна из частей, от которой останется две корки.

Остальную часть арбуза произвольным образом разрежем на три части, каждая из которых дает по одной корке.

 

Коля, Вася и Петя пошли за покупками. Всего у них с собой 2200 рублей, и ни у кого нет монет мельче рубля. У Коли с собой в 18 раз меньше денег, чем у Васи. Докажите, что Петя сможет купить мороженое за 15 рублей.

 

Решение:

                            

 

Есть десять карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая — чёрная. Все они лежат на столе белой стороной вверх. Коля перевернул 5 карточек, затем Оля перевернула 6 карточек, после чего Миша перевернул 7 карточек. В результате все карточки оказались повёрнуты чёрной стороной вверх. Как это могло получиться?

 

Решение: В конце этих манипуляций все карточки лежат чёрной стороной вверх, поэтому каждая из них была перевёрнута один или три раза. Общее число переворотов равно 5+6+7=18, карточек 10, поэтому число вторых и третьих переворотов равно 8, значит, ровно 4 карточки были перевёрнуты трижды. Таким образом, Коля перевернул карточки с 1 по 5, Оля – с 1 по 4,6 и 7, Миша – с 1 по 4 и с 8 по 10.

 

Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4 тарелки сгущенки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он съел 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют: от варенья или от сгущенки?

 

Решение:

По условию                3м + 4с + 2в > 2м + 3с + 4в,

Откуда                                    м + с > 2в.                                                   (*)

По условию же           3м + 4с + 2в > 4м + 2с + 3в,

Откуда                                        2с > м + в.

Складывая последнее неравенство с неравенством (*), получаем:

                                            м + 3с > м + 3в,

откуда                                               с > в.

Ответ: от сгущенки.

 

Мальчик пошел с отцом в тир. Отец купил ему 10 пулек. В дальнейшем отец за каждый промах отбирал у сына одну пульку, а за каждое попадание давал одну дополнительную пульку. Сын выстрелил 55 раз, после чего пульки у него кончились. Сколько раз он попал?

 

Решение: Каждый раз, когда мальчик попадал в цель, число имеющихся у него пулек оставалось прежним (одну использовал и одну получил от отца). Каждый раз, когда мальчик промахивался, число имеющихся у него пулек уменьшалось на 2 (одну использовал и одну отобрал отец). Это значит, что сын за 55 выстрелов промахнулся 10: 2 = 5 раз, стало быть, попал 55 – 5 = 50 раз.

Ответ: 50.

 

 

В классе находится учитель и несколько его лучших учеников. Найдите, сколько учеников находится в классе, если возраст учителя больше их среднего возраста на 24 года и больше среднего возраста всех присутствующих в классе на 20 лет.

Решение: Пусть имеется n учеников с возрастами . Обозначим также возраст учителя за х.

Тогда согласно условию:  + 24 = x  (учитывая средний только одних возраст учеников), откуда следует, что = n(x – 24).

Так как учитель имеет возраст на 20 лет больше общего среднего возраста,

то  + 20 = x. Подставляя в последнее равенство вместо

выражение n(x – 24) получаем, что  + 20 = x           
Домножая на знаменатель и раскрывая скобки, приходим к равенству:
xn – 24n + x + 20n + 20 = xn + x, откуда 4n = 20 значит n = 5.

                                                      

 

Темной ночью к хлипкому деревянному мостику через широкий и глубокий овраг подошла семья: папа, мама, сын и бабушка. Папа может перейти мостик за 1 минуту, мама – за 2 минуты, сын – за 5 минут, бабушка – за 10 минут. Найти минимальной время, за которое семья преодолеет эту преграду если:

1) на мостике одновременно могут находиться НЕ БОЛЕЕ двух человек;

В вершины квадрата по часовой стрелке поставлены числа: 1,0,1,0. За один ход можно прибавлять к двум соседним числам по любому одинаковому целому числу. Можно ли в результате всех этих операций получить, что бы все числа, стоящие в вершинах квадрата были одинаковы?

 

Решение: 1 – нечетное число, а 0 – четное., поэтому при прибавлении к соседним вершинам одинакового числа четность обоих чисел будет или меняться, или сохраняться прежней. Поэтому числа в вершинах не смогут быть одинаковыми.

 

Антикварный магазин, купив два предмета на общую сумму 360 рублей, продал их, получив 25% прибыли. За сколько был продан каждый предмет, если на первый была наценка 50%, а на второй – 12,5%?

               х -- первый
y -- второй
х + у = 360 + 25% = 360 * 1.25 = 450 -- за столько продали
x/1.5 + y/1.125 = 360 -- за столько купили
домножить второе уравнение на 1.5 и вычесть из второго уравнения первое
х + у*1.5/1.125 = 360*1.5 = 540
х + у = 450
y*1.5/1.125 - y = 90
y = 90/(1.5/1.125 - 1) = 270 -- второй продали за столько
x = 450 - 270 = 180 -- первый продали за столько
Ответ: 180 и 270

 

 

Постройте график функции

Построить график функции: .

 

 

Пришел Иван-царевич в подземелье к Кощею Бессмертному Василису Прекрасную освобождать. В подземелье три темницы. В одной из них томится Василиса, в другой расположился Змей Горыныч, а третья темница – пустая. На дверях есть надписи, но все они ложные. На первой темнице написано: «Здесь Василиса Прекрасная»; на второй темнице «Темница №3 не пустая»; на третьей темнице написано: «Здесь Змей Горыныч». В какой же темнице Василиса?

 

                Ответ:1 темница- Горыныч, 2 темница Василиса Прекрасная, 3 темница- пусто

 

 

Решите уравнение (x-2)(x-3)(x+4)(x+5) = 1320.

                Ответ:-8; 6.

 

Найдите сумму корней уравнения: | 3 - | х + 1 | | = 5.

                Ответ:-2

 

Решите уравнение: .

                Ответ: 2

 

При выпаривании из 15 кг рассола получили 2 кг пищевой соли, содержащей 25% воды. Какой был процент содержания соли в рассоле?

                Ответ: 10

 

Мороженое, и все подняли руки, потом тех, кто любит шоколадное мороженое – и половина гномов подняли руки, потом тех, кто любит фруктовое мороженое – и руку поднял только один гном. Сколько среди гномов правдивых?

Пусть x + y + z =1, x >0, y >0, z >0. Доказать неравенство:

 

 

Морская вода содержит 5% по весу соли. Сколько кг пресной воды нужно добавить к 80кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 2%.

БАНК ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАНИЙПО МАТЕМАТИКЕ

 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

В трапеции ОРКТ с основаниями ОР и КТ диагонали пересекаются в точке М. Площадь треугольника ОРМ равна 72, площадь треугольника КТМ равна 50. Найдите площадь трапеции ОРКТ.

Решение: 

треугольники ОРМ и КТМ подобны, так как имеют взаимно параллельные стороны.

, где HL – высота трапеции, проведенная через точку пересечения диагоналей трапеции