Равнодействующая сил, приложенных к твердому телу

Перед конкретными расчетами движений твердых тел полезно установить, какие не нарушающие правильности результатов операции с приложенными к телам силами могут производиться в ходе решения. В механике материальной точки, обладающей лишь тремя степенями свободы, место приложения сил было малосущественным, поскольку первое из векторных уравнений системы (3.5) не содержит в себе каких-либо координат точек приложения сил. В случаях же задач на описание движения твердых тел с помощью полной системы уравнений их отклик на внешнее воздействие оказывается существенно зависящим от точки приложения каждой из сил, поскольку скорость изменения момента импульса определяется моментами сил, явно зависящими от точки приложения воздействия. Последнее означает, что при выполнении рисунков к решениям задач на динамику твердого тела силы должны изображаться приложенными к тем точкам тела, на которые они в реальности действуют. Одной из немногочисленных свобод, допускаемых рассматриваемой моделью, является возможность произвольного переноса точки приложения силы вдоль линии ее действия (рис. 3.2). При такой операции остается неизменными  величина и направления вектора самой силы, направление ее момента и величина последнего, численно равная произведению величины силы на плечо ρ (расстояние от начала координат до линии, вдоль которой действует сила):

 

.

В результате такого переноса система уравнений (3.5) остается неизменной весте с ее решением.

Рис. 3..2. К вопросу о возможности  перемещения  точки  приложения силы вдоль задаваемой ею прямой

Рис. 3.3. Сложение двух непараллельно направленных сил, приложенных к абсолютно твердому телу

 

При нахождении равнодействующей нескольких сил, приложенных к твердому телу, точку приложения любой силы можно переносить вдоль линии ее действия, а совокупность сил, приложенных к одной точке можно заменять их векторной суммой (рис. 3.3).

В случае двух сонаправленных сил, приложенных к разным точкам абсолютно твердого тела для нахождения результирующей достаточно прибавить к каждому из складываемых векторов по одинаковой по величине, но противоположно направленной силе (рис. 3.4). Далее применим алгоритм сложения непараллельных сил (рис. 3.3). Легко показать, что в этом случае равнодействующая окажется равной сумме исходных сил, а точка ее приложения будет располагаться в соответствии с «правилом рычага»:

 ,

которое легко выводится как из простых геометрических соображений, так и непосредственно из требования равенства момента равнодействующей силы сумме моментов складываемых сил.

 В случае «пары сил» (две антипараллельные силы, приложенных к разным точкам тела) равнодействующей вообще не существует, поскольку в этом случае сумма векторов сил оказывается равной нулю, а их суммарный момент оказывается отличным от нуля.

Рис. 3.4. Сложение двух параллельно направленных сил,
приложенных к абсолютно твердому телу

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

Статика

Твердое тело находится в равновесии, если обе суммы действующих на него сил и приложенных моментов сил равны нулю. Условие равновесия твердого тела имеет вид, непосредственно вытекающий из (3.5):

                                                                                          (3.6)

В статике выбор полюса, относительно которого вычисляются моменты в (9.6), произволен. Возможность смещения полюса на произвольный вектор R следует из условия равенства нулю суммы приложенных к телу сил:

       .           

Важным приложением задач статики является расчет условий равновесия абсолютно твердого тела заданной формы в поле сил тяжести. Некоторая сложность учета этой силы связана с тем, что она является распределенной, т.е. действующей на каждый их элементов тела, расположенных в точках r _j. Эту распределенную силу удобно заменить равнодействующей

 

 ,

точка приложения которой определяется требованием равенства ее момента суммарному моменту распределенной силы:

 . (3.7)

 

Определение 3.2. Центром тяжести абсолютно твердого тела называется точка приложения к нему равнодействующей сил притяжения всех его элементов

 

 

Теорема 3.1. Теорема о положении центра тяжести. Центр тяжести абсолютно твердого тела совпадает с его центром масс:  .                               (3.8)

 

Доказательство теоремы непосредственно вытекает из условия равенства моментов (3.7) и определения центра масс системы материальных точек (1.2). Разумеется, теорема справедлива лишь в одинаковости ускорения свободного падения во всех точках пространства, занимаемого рассматриваемым телом. Например, в случае тела, размеры которого сопоставимы с радиусом шарообразной планеты, результат (3.8) не является верным.

 

Пример. Устойчивость незакрепленной опоры. Однородная доска длиной L и массой M лежит на краю берега так, что над водой свешивается четверть ее длины (рис. 3.5). Тщательно не изучивший основы статики студент массой m задумчиво идет по доске в направлении к реке, стремясь подойти как можно ближе к краю доски. В какой точке своего пути студент поймет, что даже классическая физика в некоторых жизненных ситуациях оказывается весьма полезной?

Рис. 3.5. К расчету устойчивости незакрепленной опоры

 

Решение. Рассмотри описанную систему тел в критический момент начала переворота доски, когда ее лежащая на берегу часть начинает отрываться от поверхности земли. В этот момент силы реакции, возникавшие в результате взаимодействия доски с поверхностью берега обращаются в ноль во всех точках, кроме крайней точки «О», вокруг которой начинается опрокидывание доски. Действующая на доску сила тяжести приложена к ее центру тяжести, расположенному на расстоянии L/4 от оси вращения, студент давит на доску в точке его нахождения. Искомое критическое положение студента легко определяется из условия равенства моментов сил относительно точки «О» в последний момент перед переворотом доски:

.

Разумеется, полученный результат применим лишь в случае m > M /2. При невыполнении приведенного неравенства ситуация окажется еще более трагичной: задумчивый студент окажется в воде без спас средства в виде плавающей доски, которая останется на берегу.

Ограничения применимости модели абсолютно твердого тела могут возникнуть уже на уровне решения задач статики. Например, в случае бруска с известной, покоящегося не на двух, а на трех точечных опорах (рис. 3.6) возникает статически неопределенная задача с тремя неизвестными силами реакции, для решения которой двух условий (3.6) оказывается недостаточно. Решение описанной задачи требует учета возникающих в бруске деформаций, методы расчета которых изучаются в специальных разделах физики и материаловедения.

Рис. 3.6. Пример системы, не допускающей корректного описания
в рамках модели абсолютно твердого тела