МОДЕЛЬ Абсолютно твердоГО телА. Статика

Общие методы описания движения систем материальных точек позволяют получать существенно более конкретные и практически значимые результаты в тех случаях, когда они дополняются информацией об особенностях внутренних взаимодействиях между составляющими эту систему элементами. Весьма наглядной иллюстрацией к сказанному является раздел механики, посвященный описание движения твердых тел. Последний строится на базе развитого аппарата описания систем материальных точек. При этом весьма популярной и эффективной оказывается простейший вариант, использующий модель абсолютно твердого тела, в рамках которой расстояние между любыми двумя точками рассматриваемой системы не изменяется во времени. Удобным примером для демонстрации особенностей проявлений идей описания произвольных систем материальных точек к модель абсолютно твердого тела является статика, изучающая условия нахождения твердого тела в состоянии покоя.

Общие положения

При переходе от механики систем материальных точек к писанию твердого тела дискретное распределение точечных масс заменяется на непрерывное распределение и, следовательно, суммирование по точечным телам переходит в интегрирование по объему тела. При этом сохраняются теоремы о скоростях изменения импульса и момента импульса систем, которые дают шесть скалярных уравнений движения, достаточных для описания движения твердого тела, обладающего шестью степенями свободы.

Определение 3.1. Абсолютно твердым телом называется такая система материальных точек, в которой расстояния между двумя любыми частицами не изменяется в течение времени:                                 (3.1)

Так определяемое абсолютно твердое тело является моделью, а не реальным физическим объектом. Приписываемые Определением 3.1 свойства противоречат как фундаментальным требованиям теории относительности (в случае реального существования абсолютно твердое тело могло бы использоваться для мгновенной передачи сигнала от одной точки пространства к другой удаленной от исходной точке), так и основаниям квантовой механики (признающим вопреки 3.1) невозможность одновременного наличия у частицы точного значения координат и соответствующих проекций импульса). Несмотря на сказанное, рассматриваемая модель находит широчайшее применение для простого и удобного (но не абсолютно точного) описания движения макроскопических тел, форма которых слабо изменяется с течением времени.

Абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы. Его положение в пространстве можно полностью описать, задав, например, положение центра масс (три числа) и три угла поворота тела вокруг трех координатных осей, проведенных через центр масс (рис. 3.1). Для полного описания движения абсолютно твердого тела необходимо иметь шесть скалярных (или три векторные) уравнения движения.

Рис. 3.1. Задание положения твердого тела в пространстве

Как правило, составляющие реальные почти твердые тела частицы (атомы, молекулы, ионы) расположены достаточно плотно. Это позволяет в рамках модели абсолютно твердого тела приближенно перейти от ранее рассматривавшихся дискретных распределений точечных тел в системе к их непрерывному распределению и ввести понятие плотности вещества твердого тела:

  (3.2)    

В соотношениях (3.2) при переходе к записи результатов в виде производной и/или интеграла использовано приближенное равенство из-за того, что в рассматриваемой ситуации объем ячейки пространства не может быть устремлен к нулю в математическом смысле из-за дискретности распределения вещества в объеме тела. В результате в механике твердого тела операции дифференцирования и интегрирования по объемам носят приближенный характер и на самом деле сводятся к делению на физически бесконечно малый объем или суммированию по малым (в физическом смысле) объемам.

Определения полных импульса (1.6) и момента импульса (1.12) абсолютно твердого тела, даются в соответствии с идеологией, рассмотренной при обсуждении смысла соотношения (3.3):

                                                                          (3.3)

                                                   (3.4)                                                                                                                                                                                                    

Для получения полной информации о движении абсолютно твердого тела могут быть использованы две теоремы о скоростях изменения полного импульса системы (1.6) и момента этого импульса (1.12). Соответствующая пара векторных равенств дает шесть независимых уравнений движения, полностью определяющие поведение системы с шестью степенями свободы:

                                                                                      (3.5)