Динамика движения по окружности

2.6.1. Какие физические соображения лежат в основе выбора направления осей при проецировании уравнения движения тела, движущегося по окружности?

2.6.2. Чему равна величина силы трения покоя, сообщающей центростремительное ускорение автомобилю массой 1000 кг, движущемуся со скоростью 60 км/ч по закруглению дороги радиусом 100 м? (2,8 кН)

2.6.3. С какой наибольшей скоростью может двигаться автомобиль на повороте с радиусом закругления 150 м, чтобы его не занесло, если коэффициент трения шин о дорогу равен 0,42? (25 м/с)

2.6.4. Человек сидит на краю круглой горизонтальной платформы радиусом 4,0 м. С какой частотой должна вращаться платформа вокруг вертикальной оси, чтобы человек не мог удержаться на ней при коэффициенте трения, равном 0,27? (0,13 Гц)

2.6.5. Горизонтальный диск вращается с частотой 78 оборотов в минуту. Максимальное расстояние от центра, при котором тело, положенное на диск, не соскальзывает с него, равно 5,4 см. Определите коэффициент трения между телом и диском. (0,37)

2.6.6. Груз массой 5,4 кг вращают в вертикальной плоскости на веревке длиной 1,2 м. Веревка разрывается под действием силы 120 Н. С какой максимальной скоростью груз может проходить нижнюю точку его траектории, чтобы нить не разорвалась. (3,9 м/с)

2.6.7. На конце невесомого стержня длиной 17 см укреплен груз массой 450 г, вращающийся в вертикальной плоскости с постоянной угловой скоростью 12 рад/с. Ось вращения проходит через другой конец стержня. Определите вес груза в верхней точке траектории. (6,6 Н)

2.6.8. Шарик массой 2,5 кг укреплен на конце невесомого стержня длиной 81 см, равномерно вращающегося в вертикальной плоскости с частотой 40 оборотов в минуту вокруг оси, проходящей через другой конец стержня. Определите силу натяжения стержня, когда он отклонен от положения равновесия на угол 30°. (57 Н)

2.6.9. Автомобиль массой пять тонн движется по выпуклому мосту радиусом 100 м с постоянной скоростью 36 км/ч. Найдите силу давления автомобиля на середину моста. (44 кН)

2.6.10. Автомобиль едет по выпуклому мосту с радиусом кривизны 49 м. Какую скорость должен иметь автомобиль, чтобы в верхней точке моста пассажиры почувствовали состояние невесомости? (22 м/с)

2.6.11. Автомобиль массой 5,5 т въезжает на выпуклый мост, представляющий собой дугу окружности радиусом 84 м, со скоростью 72 км/ч. Определите нормальную реакцию моста, действующую на автомобиль в точке, направление на которую из центра кривизны моста составляет с вертикалью угол, равный 45°. (12 кН)

2.6.12. Автомобиль массой 3,0 т движется с постоянной скоростью 36 км/ч по вогнутому мосту с радиусом кривизны 60 м. С какой силой давит автомобиль на мост в тот момент, когда линия, соединяющая центр кривизны моста с автомобилем, составляет угол 30° с вертикалью? (30 кН)

2.6.13. По выпуклому мосту, радиус кривизны которого составляет 90 м, движется автомобиль массой 2,0 т со скоростью, равной 54 км/ч. В точке моста, направление на которую из центра кривизны моста составляет с направлением на вершину моста угол α, автомобиль давит с силой 14,4 кН. Определите угол α. (8,2°)

2.6.14. Самолет выполняет "мертвую петлю" с радиусом 100 м и движется по ней со скоростью 280 км/ч. С какой силой тело летчика массой 80 кг будет давить на сидение самолета в верхней и нижней точках петли? (4,1 кН; 5,6 кН)

2.6.15. Самолет совершает поворот, двигаясь по дуге окружности с постоянной скоростью 360 км/ч. Определите радиус этой окружности, если корпус самолета повернулся вокруг направления полета на угол 10°. (5,8 км)

2.6.16. Шарик массой 75 г, прикрепленный к пружине жесткостью 240 Н/м, движется в горизонтальной плоскости по окружности радиусом 57 см с угловой скоростью 15 рад/с. Определите длину недеформированной пружины, если силой трения можно пренебречь. (53 см)

2.6.17. Тела массами 1,3 и 1,9 кг, связанные тонким невесомым стержнем длиной 85 см, приводят во вращение в горизонтальной плоскости относительно центра масс системы с угловой скоростью 6,8 рад/с. Определите силу натяжения стержня. (30 Н)

2.6.18. Тонкий обруч радиусом 60 см раскрутили вокруг его оси до угловой скорости 8,3 рад/с и осторожно опустили на горизонтальный стол. Через какое время остановится обруч, если коэффициент трения между обручем и столом равен 0,19? (2,7 с)

2.6.19. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч, делая поворот с радиусом кривизны 100 м. На какой угол от вертикали при этом он должен отклониться, чтобы не упасть при повороте? (22°)

2.6.20. Конькобежец движется по льду со скоростью 10 м/с, описывая окружность радиусом 30 м. Под каким углом к горизонту он должен наклоняться, чтобы сохранять равновесие? (71°)

2.6.21. Дорожка для велосипедных гонок имеет закругление радиусом 40 м и сделана с наклоном 35° к горизонту. Какую максимальную скорость может развить велосипедист на вираже, если коэффициент трения колеса о покрытие велотрека равен 0,58? (29 м/с)

2.6.22. С какой наименьшей скоростью мотоцикл может двигаться по горизонтальной окружности внутри вертикального кругового цилиндра радиусом 5,9 м, если коэффициент трения между шинами мотоцикла и поверхностью цилиндра равен 0,49? (11 м/с)

2.6.23. Цилиндр радиусом 76 см, расположенный вертикально, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью 9,4 рад/с. На внутренней поверхности цилиндра находится небольшое тело, вращающееся вместе с цилиндром. При каком минимальном коэффициенте трения между телом и поверхностью цилиндра тело не будет скользить вниз? (0,15)

2.6.24. С какой скоростью должен двигаться железнодорожный вагон по закруглению радиусом 120 м, чтобы шар, подвешенный на нити к потолку вагона, отклонился от вертикали на угол 45°? (34 м/с)

2.6.25. Нить длиной 95 см с грузом на конце закреплена на оси карусели. Определите период вращения карусели, если нить отклонилась от вертикали на угол 60°. (1,4 с)

2.6.26. Шарик массой 5,0 г, подвешенный на невесомой нити длиной 1,0 м, движется по окружности в горизонтальной плоскости так, что нить описывает коническую поверхность, образуя угол 45° с вертикалью. Определите линейную и угловую скорости шарика и силу натяжения нити. (2,6 м/с; 3,7 рад/с; 69 мН)

2.6.27. На горизонтальном диске радиусом R = 20 см укреплен отвес, который при равномерном вращении диска отклоняется на угол α = 45° от вертикали. Определите угловую скорость вращения диска, если длина нити L = 28 см. (5,0 рад/с)

2.6.28. Шарик, подвешенный на нити, движется по горизонтальной окружности, плоскость которой находится от точки подвеса на расстоянии 1,0 м. Определите период обращения шарика. (2,0 с)

2.6.29. Бусинка может скользить вдоль гладкого кольца радиусом 52 см, расположенного в вертикальной плоскости. Кольцо привели во вращение с угловой скоростью 14 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через центр кольца. Определите, на какой высоте от нижней точки кольца бусинка займет равновесное положение. (0,47 м)

2.6.30. С какой скоростью должен двигаться маленький шарик внутри гладкой сферы радиусом 28 см, чтобы все время оставаться в горизонтальной плоскости на высоте 20 см от нижней точки сферы? (3,0 м/с)

2.6.31. На внешней боковой поверхности конуса с углом у основания 30° находится маленькая шайба. Коэффициент трения между конусом и шайбой равен 0,83. Конус приводят во вращение с периодом 2,1 с. На каком наибольшем расстоянии от оси вращения конуса может находиться шайба, не соскальзывая с него? (19 см)

2.6.32. На невесомый блок намотана легкая нерастяжимая нить с грузом. Груз приходит в движение из состояния покоя. Определите ускорение любой точки на ободе блока после первого полного оборота. (124 м/с²)

Всемирное тяготение

2.7.1. Два медных шара массой по 10 т каждый касаются друг друга. С какой силой они притягиваются? (4,0 мН)

2.7.2. Вычислите ускорение свободного падения на расстоянии 7200 км от поверхности Земли. (2,2 м/с²)

2.7.3. Ракета, запущенная вертикально вверх, поднялась на высоту 3200 км от поверхности Земли. После достижения наивысшей точки началось свободное падение. Определите путь, пройденный ракетой за пятую секунду своего падения. (19,6 м)

2.7.4. Радиус Марса в 1,9 раза меньше радиуса Земли, а его масса меньше массы Земли в 9 раз. Определите ускорение свободного падения на поверхности Марса. (3,9 м/с²)

2.7.5. Ускорение силы тяжести на поверхности Земли в 1,11 раза превышает ускорение силы тяжести на поверхности Венеры. Вычислите среднюю плотность Венеры. (5200 кг/м³)

2.7.6. Чему равно ускорение свободного падения на поверхности нейтронной звезды радиусом 10 км, если ее плотность 1,0·10¹⁷ кг/м³? (2,8×10¹¹ м/с²)

2.7.7. Вычислите, на какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения равно ускорению свободного падения на поверхности Луны. (8900 км)

2.7.8. Искусственный спутник выведен на высоту, равную утроенному радиусу Земли. Во сколько раз скорость его орбитального движения на данной высоте меньше, чем у поверхности Земли? (2)

2.7.9. Космонавты высадились на шарообразный, не имеющий атмосферы астероид плотностью 3,0 г/см³. Ими было замечено, что из состояния покоя тело падает с высоты 2,0 м на поверхность астероида за время, равное 10 с. Чему равен средний радиус астероида? (48 км)

2.7.10. Космонавты подлетели к неизвестной планете и решили определить ее массу с помощью прибора, который позволяет точно измерять ускорение свободного падения. Первый раз они провели измерение на некоторой высоте над поверхностью планеты и получили величину ускорения 11,7 м/с². После изменения радиуса орбиты на 7200 км было получено значение ускорения 6,05 м/с². Чему равна масса планеты? (5,96·10²⁵ кг)

2.7.11. Планета состоит из вещества со средней плотностью 5600 кг/м³. Каким будет наименьший период обращения искусственного спутника этой планеты по круговой орбите? (5,0·10³ с)

2.7.12. Спутник Земли движется по круговой орбите. Ускорение свободного падения в месте нахождения спутника равно 9,2 м/с². Вычислите угловое перемещение спутника за 82 мин. (5,8 рад)

2.7.13. Три звезды массой 1,0·10²⁷ кг каждая сохраняют в своем движении вокруг общего центра масс конфигурацию равностороннего треугольника со стороной 1,0·10¹² м. Каков период обращения этого треугольника? (1,4·10¹⁰ с)

2.7.14. Две звезды массами 2,0·10³⁰ и 3,5·10³⁰кг обращаются вокруг общего центра масс по орбитам, имеющим форму окружностей, с периодом 1400 лет. Вычислите расстояние между звездами. (2,6·10¹³ м)

2.7.15. Двухпланетная система с суммарной массой, равной 2,5 массам Земли, вращается вокруг общего центра масс. Расстояние между центрами планет составляет 1,5 · 10⁸ м. Какое число полных оборотов совершит каждая из планет за земной год? (86)

2.7.16. Какой продолжительностью должны быть сутки на Земле, чтобы тела на экваторе стали невесомыми? (5,1·10³ с)

2.7.17. Найдите среднюю плотность шарообразной планеты, на экваторе которой пружинные весы при взвешивании одного и того же тела показывают на 10 % меньше, чем на полюсе, а сутки на планете длятся 12 часов. (760 кг/м³)

Равновесие твердого тела

2.8.1. Что понимают под устойчивым положением равновесия? Неустойчивым положением равновесия? Безразличным положением равновесия?

2.8.2. Груз массой 500 г подвешен к нити, натянутой между двумя стенами так, как показано на рисунке. Определите силу натяжения нити. (4,9 Н)

2.8.3. Однородное тело массой 5,3 кг, имеющее форму параллелепипеда, подвешено на двух нитях, составляющих угол α = 60° с горизонталью. Определите силу натяжения нитей. (30 Н)

2.8.4. К гладкой вертикальной стене подвешен на тросе однородный шар массой 4,7 кг, как показано на рисунке. Определите силу давления шара на стену, если трос составляет со стеной угол α = 30°. (27 Н)

2.8.5. Груз массой 150 г, привязанный к нити длиной 1,0 м, совершает колебания  в вертикальной плоскости. Чему равен момент силы тяжести относительно точки подвеса при отклонении нити от вертикали на 60°? (1,3 Н·м)

2.8.6. На барабан лебедки диаметром 25 см намотан трос. К тросу подвесили груз массой 22 кг. Под действием силы тяжести груз стал опускаться с постоянной скоростью. Вычислите момент сил трения относительно оси барабана. (27 Н·м)

2.8.7. На вал насажено колесо диаметром 32 см. На колесо действует относительно оси вращающий момент, равный 8,6 Н·м. С какой минимальной силой должна быть прижата тормозная колодка к ободу вращающегося колеса, чтобы оно начало тормозиться, если коэффициент трения между колесом и колодкой равен 0,80? (67 Н)

2.8.8. Какую минимальную силу надо приложить к краю длинной балки массой 1000 кг, чтобы приподнять ее? (4,9 кН)

2.8.9. Однородный стержень массой 15 кг на две трети своей длины выступает за край стола. Какую минимальную силу необходимо приложить к концу выступающей части стержня, чтобы он находился в равновесии? (37 Н)

2.8.10. Два лесоруба несут бревно массой 95 кг. Первый лесоруб держит бревно за самый край, а второй – на расстоянии 1,0 м от противоположного конца бревна. Длина бревна 7,4 м. Определите силу давления бревна на второго лесоруба. (0,54 кН)

2.8.11. Труба массой 2100 кг и длиной 16 м лежит на двух опорах. Левая расположена на расстоянии 4,0 м, а правая – на расстоянии 2,0 м от концов трубы. Какую минимальную силу нужно приложить к правому концу трубы, чтобы ее приподнять? (6,9 кН)

2.8.12. Расстояние между двумя опорами равно 8,2 м. На эти опоры положили горизонтальную балку массой 120 кг и длиной 11 м так, что 2,3 м балки выступают за левую опору. Определите силу давления балки на правую опору. (0,46 кН)

2.8.13. Однородная балка массой 8,6 кг уравновешена на трехгранной призме. Если четвертую часть балки отрезать, то какую вертикальную силу необходимо приложить к отрезанному концу балки для сохранения равновесия? (32 Н) 

2.8.14. Однородный стержень длиной 9,0 м и массой 750 кг удерживается в горизонтальном положении с помощью двух опор, расстояние между которыми равно 3,5 м. Определите силу реакции в левой опоре. (2,1 кН)

2.8.15. Однородная балка длиной 2,7 м и массой 150 кг удерживается в горизонтальном положении с помощью двух опор, расстояние между которыми равно 0,52 м. К свободному концу балки приложена вертикальная сила 130 Н. Определите реакцию правой опоры. (4,5 кН)  

2.8.16. Однородная балка длиной 6,0 м одной частью, длина которой составляет 1,0 м, лежит на горизонтальной платформе. Остальная часть балки свешивается с платформы. Балка удерживается в горизонтальном положении вертикальной силой, приложенной к концу свешивающейся части балки. Найдите отношение максимального значения этой силы к ее минимальному значению. (1,25)

2.8.17. Шайба массой 1,2 кг лежит на конце доски длиной 1,5 м. Противоположный конец доски выступает на 50 см за край стола. Масса доски составляет 2,4 кг, коэффициент трения между доской и шайбой равен 0,40. Относительно стола доска не проскальзывает. Какую минимальную скорость нужно сообщить шайбе вдоль доски, чтобы доска опрокинулась? (3,4 м/с)

2.8.18. На концах тонкого невесомого стержня длиной 75 см закреплены грузы массами 1,1 и 2,8 кг. Стержень подвешен на нити так, что он расположен горизонтально. Определите расстояние от меньшего груза до точки подвеса. (0,54 м)

2.8.19. Стержень одинакового поперечного сечения состоит из двух равных по длине частей – свинцовой и железной. Определите координату центра тяжести стержня, отсчитывая ее от геометрического центра стержня, если его длина равна 40 см. (18 мм)

2.8.20. Два шара диаметром 65 см каждый скреплены в точке касания их поверхностей. На каком расстоянии от точки касания находится центр тяжести системы, если масса одного шара в 3,5 раза больше массы другого? (18 см)

2.8.21. Прямоугольный брусок высотой 62 см и длиной 83 см скользит с постоянной скоростью по горизонтальной поверхности под действием силы , приложенной к середине левой боковой грани бруска в горизонтальном направлении. Коэффициент трения между бруском и поверхностью равен 0,34. На каком расстоянии от левой грани бруска приложена равнодействующая  сил нормальной реакции опоры? (52 см)

2.8.22. Кубик, ребро которого равно 42 см, покоится на наклонной плоскости с углом наклона к горизонту α = 30°. На каком расстоянии l от боковой грани кубика приложена равнодействующая сил нормальной реакции опоры? (8,9 см)

2.8.23. Под каким наименьшим углом к горизонту может стоять лестница, прислоненная к гладкой вертикальной стене, если коэффициент трения лестницы о пол равен 0,37? Считайте, что центр тяжести лестницы находится в ее середине. (54°)

2.8.24. Однородная жесткая доска прислонена к вертикальной стене и опирается о горизонтальный пол. Коэффициент трения доски о пол равен 0,42, а о стену –0,13. При каком минимальном угле между доской и полом она будет находиться в равновесии? (48°) 

2.8.25. Однородный стержень изогнут в виде буквы Г так, что одна его часть в 2,0 раза длиннее другой. Стержень подвешен нитью в месте сгиба. Определите угол, образуемый более длинной частью стержня с вертикальной нитью подвеса. (14°)

2.8.26. Стержень массой 6,3 кг одним концом закреплен шарнирно, вторым опирается на горизонтально стоящую тележку. Коэффициент трения стержня о тележку равен 0,47, угол его наклона к горизонту составляет 60°. Какую наименьшую силу нужно приложить к тележке, чтобы сдвинуть ее влево? Трением тележки о пол можно пренебречь. (8,0 Н)

2.8.27. Стержень массой 840 г одним концом закреплен шарнирно, а другим опирается на дощечку массой 120 г, которая лежит на гладкой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 30°. Коэффициент трения между стержнем и дощечкой равен 0,35. При каком наименьшем угле стержня с вертикалью дощечка не будет соскальзывать с наклонной плоскости? (24°) 

2.8.28. На горизонтальном столе лежит тонкий диск массой 500 г и радиусом 15 см. В центре диска вертикально укреплен невесомый стержень длиной 60 см. К верхнему концу стержня на невесомой нерастяжимой нити подвешен шарик массой 300 г. Шарик приводится в движение так, что он описывает вокруг стержня окружность в горизонтальной плоскости. Какой максимальный угол может составлять нить со стержнем, чтобы диск не отрывался от стола? Проскальзывание диска относительно стола отсутствует. (34°) 

2.8.29. Однородный цилиндр массой 10,0 кг лежит на наклонной плоскости, касаясь её своей образующей. Цилиндр удерживается в равновесии на наклонной плоскости нитью, намотанной на него и направленной параллельно наклонной плоскости и перпендикулярно к образующей цилиндра. Угол наклона плоскости к горизонту составляет α = 30°. Проскальзывание отсутствует. Найдите силу натяжения нити. (24,5 Н)

2.8.30. На наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол 30°, удерживается катушка массой 650 г с намотанной на нее нитью. Радиус катушки равен 4,0 см, а намотанного слоя – 2,0 см. Определите силу трения. (1,1 Н)

2.8.30. На невесомый двухступенчатый блок намотаны невесомые нерастяжимые нити. Груз массой 2,3 кг подвешен к блоку c большим радиусом, равным 45 см. С какой силой F нужно тянуть нить, намотанную на блок с меньшим радиусом, равным 21 см, чтобы груз перемещался вниз с ускорением 4,2 м/с²? (28 Н)