Различают абстрактные динамические системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем.

В системах с дискретным временем, которые традиционно называются каскадами, поведение системы (или, что-то же самое, траектория системы в фазовом пространстве) описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называются потоками, состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси. Каскады и потоки являются основным предметом рассмотрения в символической и топологической динамике.

Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) часто описывается автономной системой дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые — его периодическим решениям.

Основное содержание теории динамических систем — это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репеллеры) множеств (многообразий). Важнейшие понятия теории динамических систем — устойчивость (способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы; “грубая система — это такая, качественный характер движений которой не меняется при достаточно малом изменении параметров”).

Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории динамических систем приводит к понятию динамической системы с инвариантной мерой.

Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф.

Для задания динамической системы необходимо описать её фазовое пространство X, множество моментов времени T и некоторое правило, описывающее движение точек фазового пространства со временем. Множество моментов времени T может быть, как интервалом вещественной прямой (тогда говорят, что время непрерывно), так и множеством целых или натуральных чисел (дискретное время). Во втором случае «движение» точки фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто множеством точек, и называется обычно орбитой. Тем не менее, несмотря на внешнее различие, между системами с непрерывным и дискретным временем имеется тесная связь: многие свойства являются общими для этих классов систем или легко переносятся с одного на другой.

Расчетная часть.

3.2.1 Постановка задачи моделирование системы. Целью разработки данного раздела является ознакомление с методикой моделированием анализа и синтеза динамической системы заданной структуры и её параметризация.

Задачи моделирование системы:

1) Разработка математической модели каждого элемента.

2) Исследование свойств и характеристик по разработанной математической модели.

3) Структурный анализ системы и разработка её математической модели.

4) Освоение методики моделирования устойчивости системы и анализ устойчивости исходной системы.

5) Освоение методики синтеза системы обеспечивающий её устойчивость.

3.2.2 Исходная система представляет собой последовательное соединение элементов, и она относится к классу систем с последовательным соединением.

Другие группы таких систем являются системы с параллельным соединением элементов и системой обратной связи.

Системы с последовательным соединением элементов - такие системы в которых выходная величина предыдущего элемента является входной величиной последующего.

Математическая модель системы с последовательным соединением выражается как произведение математической модели каждого элемента.

Математическая модель системы является исходной информацией для анализа её поведения в частности устойчивости системы.

Несмотря на многообразие физических моделей системы их поведение в форме математического выражения можно классифицировать в конечные группы.

3.2.3 В теории моделирования в частности динамических систем разработаны различные подходы анализа свойств и их мат. модели.

Одним из распространенных и наглядных подходов исследования свойств элементов является частотный метод.

                                  Xвх           Эл-т          Хвых

                       Хвх                                                   Хвых

 

 

                                                       

АЧХ

                АФХ

ФЧХ

                                                          Рис. 3.2. Частотный метод.

Рис. 3.3. Частотный метод.

(p)

АФХ =>

 

 

В результате данного исследования устанавливаются следующие характеристики:

АЧХ - амплитудно-частотная характеристика

ФЗХ - фазо-частотная характеристика

АФХ - амплитудно-фазовая характеристика

Для получения этих характеристик дифференциальное уравнение элементов необходимо преобразовать в его передаточную функцию. Она будет являться математической моделью, но другой формы.

Раскроем суть этого преобразования. Пусть задана математическая модель в виде обобщенного дифференциального уравнения.

Левая часть этого уравнения показывает изменения выходной величины во времени.

Правая часть уравнения показывает характер изменения входного воздействия.

Частотный подход к исследованию свойств системы предполагает переход от данного вида уравнения к передаточной функции. Первым этапом перехода является преобразования дифференциального уравнения в уравнение операторной формы. Для этого используется преобразование Лапласа, интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Чтобы осуществить этот переход необходимо оригинал преобразовать в изображение.

 

Идентификация элементов.

Вариант 3:

K 1	K 2	T 2	T 3	K 4	K 5
1	3	4	8	5	2

Элемент №1

Элемент №1

 

		АФХ
АЧХ	ФЧХ	Im	Re
1	0	0	8

Элемент №2

Элемент №2

 

		АФХ
АЧХ	ФЧХ	Im	Re	ω
6	0	0	6	0
5,14	-0,54	-2,65	4,41	0,1
3,84	-0,88	-2,95	2,46	0,2
2,91	-1,06	-2,55	1,42	0,3
2,31	-1,18	-2,13	0,89	0,4
1,90	-1,25	-1,80	0,60	0,5
1,61	-1,30	-1,55	0,43	0,6
1,39	-1,34	-1,35	0,32	0,7
1,22	-1,37	-1,20	0,25	0,8
1,09	-1,39	-1,07	0,20	0,9
0,99	-1,41	-0,97	0,16	1
0,90	-1,42	-0,89	0,13	1,1
0,83	-1,43	-0,82	0,11	1,2
0,76	-1,44	-0,76	0,10	1,3
0,71	-1,45	-0,70	0,08	1,4
0,66	-1,46	-0,66	0,07	1,5
0,62	-1,47	-0,62	0,06	1,6
0,59	-1,47	-0,58	0,06	1,7
0,55	-1,48	-0,55	0,05	1,8
0,52	-1,48	-0,52	0,05	1,9
0,50	-1,49	-0,50	0,04	2
0,47	-1,49	-0,47	0,04	2,1
0,45	-1,50	-0,45	0,03	2,2

Элемент №3

Элемент №3

 

		АФХ
АЧХ	ФЧХ	Im	Re	ω
0,14	0	-0,14	0	1
0,07	0	-0,07	0	2
0,05	0	-0,05	0	3
0,04	0	-0,04	0	4
0,03	0	-0,03	0	5
0,02	0	-0,02	0	6
0,02	0	-0,02	0	7
0,02	0	-0,02	0	8
0,02	0	-0,02	0	9
0,01	0	-0,01	0	10

Элемент №4

Элемент №4

 

		АФХ
АЧХ	ФЧХ	Im	Re
2	0	0	2

3.2.4 Структурное моделирование систем.

 

Для исследования системы (структура которой известна) необходимо получить её математическую модель. Эта модель определяется в свою очередь, моделями каждого элемента и схемой соединения этих элементов в системе. Несмотря на многообразие возможных схем соединения элементов в системе в теории систем их классифицируют на 3 группы:

1) Система с последовательным соединением элементов. Схема такого соединения задана в настоящей работе.

Рис.3.4. Структурная схема последовательного соединения звеньев.

2) Параллельно соединение элементов системы

Рис.3.5. Структурная схема параллельного соединения звеньев.

3) Встречно-параллельное соединение.

Рис.3.6. Структурные схемы типов коррекции: а- последовательная; б- параллельная; в-с помощью дополнительных обратных связей.

Рис.3.7. Структурная схема звена охваченного обратной связью.

 

Реальные системы могут содержать все виды соединений. Тогда они называются - схема с комбинированным соединением элементов.

Целью структурного моделирования является получение математической модели всех систем.

В теории систем такие модели определяются моделями каждого элемента.

Iгр

IIгр

 

IIIгр