Регулирование обратной связи и стабилизационные политики

В параграфе 7.1. упоминалось о том, как сложно найти пример непосредственного приложения дифференциальных уравнений второго порядка к экономическим моделям. Модель, которая будет рассмотрена, на самом деле является преобразованием системы.

Уровень национального дохода, как это хорошо известно из элементарной макроэкономики, определяется уровнем совокупного спроса. Последний состоит из части, создаваемой экономическими агентами, и части, создаваемой, государством. Государство маневрирует своими расходами так, чтобы совокупный спрос вывел национальный доход на его желаемый уровень. Таким образом, мы можно говорить о стабилизации совокупного спроса. Филлипс (Phillips) анализировал эту задачу экономической политики с точки зрения принципа автоматов, то есть в контексте регулирующей обратной связи.

Предположим, что национальный доход первоначально находится на желаемом уровне, и что возникает экзогенное уменьшение совокупного спроса. Переменные определяют отклонения от желаемого уровня так, что, если значение отрицательно, то реальное значение меньше, чем желаемый уровень. Чтобы иметь стандарт для сравнения, до того, как будет введена стабилизационная политика, следует изучить для того «спонтанное» поведение экономической системы, то есть ее поведение, когда нет никаких государственных расходов.

Простейший эндогенный динамический механизм – это мультипликатор, где предполагается, что производители реагируют на излишний спрос регулированием выпуска: если совокупный спрос превышает (меньше), чем текущий уровень производства, последний увеличивается (уменьшается). Очевидно, механизм функционирует независимо от происхождения избыточного спроса, а также без государственных расходов. Формально

,                                          (8.1)

где  – национальный доход,  – общий совокупный спрос и   - коэффициент регулирования, представляющий собой скорость регулирования расхождения между совокупным спросом и текущим уровнем производства.

Когда вмешательство государства отсутствует, общий совокупный спрос совпадает с совокупным частным спросом, который является функцией от национального дохода:

,                                                                                (8.2)

где  – предельная склонность к расходованию средств частного сектора (то есть предельная склонность к потреблению плюс предельная склонность к инвестированию). Эта склонность предполагается меньшей единицы, откуда . Вводя эндогенное возмущение u, получаем:

.                                                                           (8.3)

Подставляя (8.3) в (8.1) и задавая  единичное значение, получим:

.                                                                               (8.4)

Это уравнение первого порядка, решение которого равно

.                                                                           (8.5)

В предположении, что национальный доход в первоначальный момент времени находится на своем желаемом уровне, то есть , поэтому , откуда

.                                                                           (8.6)

Поскольку ,  монотонно стремится к , то есть к величине, получаемой применением мультипликатора к экзогенному уменьшению расходов (-1).

Теперь можно переходить к изучению действия стабилизационной политики. Филипс выделил три типа стабилизационной политики:

1. Пропорциональная стабилизационная политика: государственные расходы пропорциональны отклонению реального уровня производства от желаемого уровня и имеют противоположный знак, то есть , где  – коэффициент пропорциональности.

2. Производная стабилизационная политика: государственные расходы пропорциональны вариации (производной – темпу роста) реального уровня производства от желаемого уровня и имеют противоположный знак, то есть , где  – коэффициент пропорциональности.

3. Интегральная стабилизационная политика: государственные расходы пропорциональны сумме (в непрерывном случае интегралу) возникающих отклонений реального уровня производства от желаемого уровня, от нулевого момента времени и до текущего, и имеют противоположный знак, то есть , где  – коэффициент пропорциональности.

Государственный спрос помечен символом «*». Причина этого заключается в том, что различные значения этого показателя, отражающие множество различных политик, являются теоретическими и потенциальными величинами, то есть значения, определяемые различными политиками теоретически. Таким образом, используя переменную G для обозначения реального государственного спроса, получаем частное регулирующее уравнение

,                                       (8.7)

где  – коэффициент реакции, показывающий скорость реакции на отклонение реальных государственных затрат от потенциальных.

Когда государственный спрос присутствует, уравнение (8.3) принимает вид:

.                                                                      (8.8)

Стабилизационная модель состоит из уравнений (8.1), (8.7) и (8.8), и одного или более отношений, определяющего . Произведем преобразования модели для приведения ее к виду единственного уравнения.

Подставляя (8.8) в (8.1) и приводя подобные, получим

,                                                                      (8.9)

откуда, дифференцируя по времени,

                                                                      (8.10)

Из (8.9), умножая на , получим:

.                                                                       (8.11)

Теперь можно подставить уравнения (8.9) и (8.10) в (8.11). Это дает после приведения подобных и принятия уменьшения совокупного спроса равным единице:

,                                      (8.12)

что является обычным дифференциальным уравнением модели. Включая различные отношения для описания  можно описать траекторию  и исследовать действие стабилизирующей политики или нескольких политик при их одновременном применении.

Однако следует отметить, что только интегральная стабилизационная политика приводит к повышению порядка дифференциального уравнения модели. Приступим к рассмотрению чисто пропорциональной и смешанной пропорционально-производной стабилизационной политики.