Закон накопления погрешностей

По результатам геодезических измерений можем оценить точность по числу избыточных наблюдений только своих измерений, получить СКП измеряемых величин (длины, угла и т. д.). Это важно, т. к. мы можем сравнить эти СКП с допустимыми СКП данного инструмента.

Например, измеряем несколько раз угол теодолитом 2Т 30П и получим СКП > 30". Это означает, что мы неправильно измеряли.

Если известны СКП измеренных величин, то по их значениям можно определить СКП функции, в которой эти величины являются аргументами.

Рассмотрим простую линейную функцию z = x + y,

где z – функция;

x, y – независимые переменные.

Допустим, что каждый из аргументов измерялся п раз, и измерения сопровождались случайными погрешностямиΔ x_i,Δ y_i (i = 1, 2, 3,…, п), тогда

z_i + Δ z_i = x_i + Δ x_i + y_i + Δ y_i,

Так как функция дифференцируема, можно перейти к бесконечно малым

Δ z_i = Δ x_i + Δ y_i.

Возведем написанное равенство в квадрат и выполним операцию сложения.

[Δ z_i ² ] = [Δ x_i ² ] + [Δ y_i ² ] + 2[Δ x_i · Δ y_i ].

Разделим все члены полученного равенства на п (число измерений), тогда

Последнее слагаемое формулы на основании свойств случайных погрешностей стремится к нулю, тогда

Переходя к СКП, получим: m_z ² = m_x ² + m_y ².

Формула справедлива и для случая, когда линейная функция имеет вид z = x – y.

Рассуждениями, тождественными предыдущим, получим:

Тогда СКП функции будет иметь тот же вид, т. е.

m_z ² = m_x ² + m_y ².

Обобщая предыдущий результат, можно отметить, что СКП линейной функции суммы или разности нескольких аргументов будет равна сумме СКП этих аргументов, т. е. если z = x + y + t + … + v, то

m_z² = m_x² + m_y² + m_t² + … + m_v ².

Если проводятся равноточные измерения и СКП аргументов равны, то мы можем написать m_z = m_x = m_y = m_t = … = m_v = m, тогда формула примет вид

m_z ² = m ² · п, или

Пример. Длину теодолитного хода АС при измерении разбили на две части АВ и ВС. СКП измерения линии АВ составляет ±2,7 мм, а линии ВС – ±3,5 мм. т. е.                     m_x = ±2,7 мми m_y = ±3,5 мм. Определить СКП всей длины.

Решение: СКП линии АС определяем по формуле

m_z² = m_x² + m_y² = 2,7² + 3,5² = 19,54

m_z = ± 4,4 мм

Рассмотрим функцию вида: z = к · x,

где x – непосредственно измеренная величина, имеющая среднюю погрешность m_x, к – некоторое постоянное число.

Следуя выше изложенному можно записать

Δ z_i = к ·Δ x_i          (i = 1, 2, 3,…, п).

[Δ z_i ² ] = к² · [Δ x_i ² ],

Переходя к СКП, получим m_z ² = к² · m_x ²  или

m_z = к   · m_x.

Пример. Определить СКП длины окружности, если известно СКП радиуса этой окружности, m_x = 2,2 мм.

Решение: Длина окружности определяется по формуле L = 2π·R, СКП длины окружности определяем по формуле m_z = к   · m_x = 2·3,14 · 2,2 = 13,8 мм.

Для случая многих аргументов, когда функция имеет вид:

z = к ₁ · x + к ₂ · y + к ₃ · t + … + к _i · v,

можно сказать, что

m_z ² = к ₁² · m_x ² + к ₂² · m_y ² + к ₂² · m_t ² + … + к _i ² · m_v ²

Если предположить, что

к ₁ = к ₂ = … = к _i  = к, m_x = m_y = m_t = … = m_i = m

тогда

Все отмеченное выше в законе накопления погрешностей позволяет перейти к выводу формулы СКП функции многих независимых переменных общего вида:

z = f (x, y, t, …, ).

Допустим, что все аргументы измерялись п раз и по каждому определен ряд случайных погрешностейΔ x_i, Δ y_i, Δ t_i,…, Δ _i (i = 1, 2, 3,..., п), тогда z_i + Δ z_i = f (x_i + Δ x_i + y_i + Δ y_i + t_i + Δ t_i +,…, + v_i + Δ _i).

Погрешности аргументов малы по сравнению с их величинами, поэтому предыдущее выражение можно представить в виде строки Тейлора

В полученном выражении частные производные являются некоторыми постоянными числами, которые играют роль коэффициента к в ранее выведенной формуле. Переходя к СКП, получим