Определение площадей земельных угодий

После составления плана местности часто требуется определить величину площади. Площади могут быть рассчитаны аналитически по измеренным данным, либо по самому плану. Например, если план предназначен для кадастровых работ, то точное знание площадей отдельных участков необходимо в земельном кадастре. Следует помнить, что по планам площадь определяется с меньшей точностью, чем по результатам измерений на местности. Площадь ограниченного земельного участка всегда вычисляется по проекции на горизонтальную плоскость данного участка земной поверхности.

Аналитический способ определения площадей

Если известны вершины участка в плоской прямоугольной системе координат, то площадь его можно вычислить аналитически. Пусть заданы прямоугольные координаты вершин четырехугольника, площадь которого необходимо вычислить (рис. 59).

 

             Х                      2 (х₂, y ₂)

                                                                            3 (х₃, y ₃)

                                   

                            1(х₁, y ₁)               4 (х₄, y ₄)

                             х ₁ х ₂           х ₄ х ₃             У

           у ₁        1´ 2´       4´     3^´

               у ₂

                        у₄

                          у ₃

 

Рис. 59. Аналитический способ определения площади

 

Площадь полигона 1-2-3-4 можно вычислить через площади трапеций следующим образом:

S_1-2-3-4 = (S_1-2-2´-1´ + S_2-3-3´-2´) – (S_{1-4 -4´-1´} + S_{4 -3-3´-4´}).

Площади данных трапеций определяются как:

S_1-2-2´-1´ = 1/2 (х₁ + х₂) (у₂ - у₁),

S_2-3-3´-2´ = 1/2 (х₂ + х₃) (у₃ – у₂),

S_{1-4 -4´-1´} = 1/2 (х₁ + х₄) (у₄ – у₁),

S_{4 -3-3´-4´} = 1/2 (х₄ + х₃) (у₃ – у₄).

Тогда удвоенная площадь четырехугольника 1-2-3-4 будет равна:

2 S = (х₁ + х₂) (у₂ - у₁) + (х₂ + х₃) (у₃ – у₂) - (х₁ + х₄) (у₄ – у₁) + (х₄ + х₃) (у₃ – у₄).

Произведя преобразования, получим две равнозначные формулы для определения удвоенной площади четырехугольника:

2 S = х₁ (у₂ – у₄) + х₂ (у₃ – у₁) + х₃ (у₄ – у₂) + х₄ (у₁ – у₃),

2 S = у₁ (х₄ – х₂) + у₂ (х₁ – х₃) + у₃ (х₂ - х₄) + у₄ (х₃ – х₁).

Для многоугольника с числом вершин п окончательно получим:

2 S =

2 S = , где i = 1, 2, 3, …, п.

Это формулы Гаусса для вычисления площадей. Для контроля вычисления производят по обеим формулам. Точность определения площадей аналитическим способом определяется точностью измеренных величин. Вычисления целесообразно вести в табличной форме.

Графический способ определения площадей

1. Деление участка на геометрические фигуры. При этом способе заданный участок делят на правильные геометрические фигуры (треугольники, трапеции, прямоугольники), площади которых определяются по известным формулам и суммируют полученные значения. При криволинейной форме участка его разбивка на геометрические фигуры выполняется с таким расчетом, чтобы стороны фигур по возможности ближе совпадали с формой участка. Определение отдельных элементов фигур (длины оснований и высот) производится графически по карте или плану. Экспериментальным путем установлено, что более высокую точность определения площади получают при разбивке участка на треугольники. Для контроля и повышения точности площадь каждого треугольника вычисляется дважды по разным основаниям и высотам. Допустимое расхождение между результатами вычисляют по формуле:

Δ_пред = 0,04 ,

где М – знаменатель масштаба карты или плана; Р – площадь определяемого участка.

Если расхождение Δ = Р´ – Р´´ в значениях площади по абсолютной величине не превышает Δ_пред, то за окончательный результат принимают среднее

Р = (Р´ + Р´´): 2

Точность определений характеризуется величинами относительной погрешности порядка 1: 100 – 1: 200.

2. Определение площади с помощью палеток.

Квадратные палетки используют для определения площадей малых (до 2 – 3 см²) участков на карте или плане, имеющих криволинейное очертание (рис. 60, а). Квадратная палетка представляет собой сетку квадратов со стороной 2 – 4 мм, нанесенных на лист прозрачного материала (кальки, пластика и т. п.).

Способ определения площади с помощью такой палетки заключается в следующем: палетку накладывают на контур участка, подсчитывают число п полных квадратов, заключенных внутри контура участка и число п ´ квадратов, центр тяжести которых находится внутри контура участка.

Тогда площадь участка

Р = (п + п ´) с,

где с – цена деления палетки, определяемая как площадь квадрата палетки на местности:

с = (а ∙ М)²,

где а – сторона квадрата палетки в линейной мере (мм, см); М – знаменатель масштаба карты (плана).

Для контроля повторно определяют площадь участка, изменив положение палетки. Применение квадратной палетки обеспечивает точность определения площади с относительной погрешностью от 1: 50 до 1: 100 измеряемой площади.

Линейная палетка, применяемая для определения площадей до 10 см², представляет собой ряд параллельных линий, расположенных на прозрачной основе через равные промежутки в 2 – 5 мм (рис. 60, б). Площадь участка определяется следующим образом. Палетку накладывают на контур участка, который становится рассеченным на фигуры, имеющие форму, близкую к трапеции. Далее последовательно измеряют средние линии всех трапеций l ₁, l ₂,… l _п. Если учесть, что высоты всех трапеций постоянны и равны h между линиями палетки, то площадь участка равна

Р = h (l ₁ + l ₂ + … + l _п).

Суммарную длину отрезков можно определить с помощью курвиметра (рис. 60, в).

 

 

Рис. 60. Палетки, курвиметр:

а) – квадратная палетка; б) – линейная палетка; в) - курвиметр

Механический способ определения площадей

В инженерной практике для сравнительно быстрого и точного определения площадей участков любой конфигурации используется планиметр (рис. 61).

 

Рис. 61. Полярный планиметр

 

Наибольшее распространение получили полярные планиметры типа ПП-2К и его модернизированная модель ПП-М.

Устройство полярного планиметра. Планиметр состоит из следующих основных частей: полюсного рычага, обводного рычага и счетного механизма. На одном конце полюсного рычага расположен груз с иглой-полюсом, а на другом конце укреплен стержень с шаровой пятой, который входит в углубление на рамке счетного механизма. На конце обводного рычага имеется линза, на которой нанесена окружность с обводной точкой в центре. На обводном рычаге укреплен счетный механизм, состоящий из колесика с делениями и циферблата - счетчика оборотов. Он показывает полные обороты счетного колесика, шкала которого разделена на 100 делений. Одно деление циферблата соответствует одному полному обороту колесика. Для отсчета по колесику имеется специальное устройство – верньер. С его помощью отсчитывают десятые доли делений счетного колесика, одна тысячная доля окружности которого соответствует одному делению планиметра. Отсчет по счетному устройству выражается четырехзначным числом в делениях планиметра, например 4216. Его первая цифра 4 – отсчет по циферблату, соответствующий младшему значению, снятому по направлению указателя; последующие две цифры 21 – отсчет по счетному колесику, соответствующий нулю верньера; последняя цифра 6 – номер штриха верньера, совпадающего со штрихом счетного колесика.

Измерение площади планиметром. Сущность определения площади участка с помощью планиметра заключается в следующем. План (карту) закрепляют на горизонтальной плоскости; полюс планиметра устанавливают вне контура определяемого участка. Совместив обводную точку планиметра с исходной точкой контура, снимают начальный отсчет и ₀ и плавно обводят весь контур до исходной точки и опять снимают отсчет и ₁. Разность отсчетов Δ и = (и ₁ - и ₀) выражает величину площади контура в делениях планиметра. Тогда площадь измеряемого участка

S = q ∙ Δ и,

где q – цена деления планиметра, т. е. площадь, соответствующая одному делению планиметра.

Определение цены деления планиметра. Цена деления планиметра определяется опытным путем. Для этого обводят контур фигуры, площадь которой известна (квадрат километровой сетки топографической карты). Получают значение площади в делениях планиметра, а цену деления планиметра вычисляют по формуле:

q = S₀: Δ и ₀,

гдеS₀ – известная площадь фигуры, Δ и ₀ – величина известной площади фигуры в делениях планиметра.

В целях получения более высокой точности фигуру обводят при двух положениях полюса – ПП (полюс право) и ПЛ (полюс лево). Расхождение результатов обводов не должно превышать (единиц):

при площади до 200 делений…………..2;

                  до 200 – 2000 делений…..3;

                 свыше 2000 делений……...5.

При пользовании планиметром следует соблюдать следующие правила:

1) план должен находиться в строго горизонтальном положении;

2) положение полюса вне контура следует выбирать с таким расчетом, чтобы при обводе рычаги планиметра находились в пределах от 30° до 150°;

3) обвод контура производится плавным, равномерным движением в направлении часовой стрелки;

4) следует избегать резких толчков, остановок;

5) начинать обводку плавно, ускоряя движение, и оканчивать, плавно замедляя;

6) счетное колесико должно вращаться по оси свободно;

7) не рекомендуется прямолинейные участки контура обводить при помощи линейки, т. к. это может привести к односторонней ошибке.