Выведение следствий и подведение под понятие

Первый шаг в формировании этих приемов логического мышления у учащихся — знаком­ство с признаками необходимыми и достаточ­ными. Научить дифференцировать эти признаки не так просто. Нередко даже взрослые думают, что всякий достаточный признак является одно­временно необходимым. Фактически же это не так. Вот пример. Если у человека высокая температура, то все понимают, что он болен. Это означает, что признак «высокая температура» является достаточным для признания человека больным. Однако этот признак вовсе не является необходи­мым, так как есть немало болезней, протекающих без температуры. Следовательно, отсутствие темпе­ратуры не означает отсутствия болезни: человек может быть болен, а температуры у него может не быть.

В исследовании И. П. Калошиной и Г. И. Хари­чевой ^[4] учащимся седьмых классов были предло­жены специальные задания, выполнение которых предполагает понимание характера признаков — необходимые, достаточные, необходимые и одно­временно достаточные.

Вот одно из этих заданий: «Известна теорема: «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны».

Объясните, какая из двух формулировок теоремы справедлива: 1. Если четырехугольник есть ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны. 2. Если диагонали четырехугольника взаимно пер­пендикулярны, то данный четырехугольник есть ромб».

Только 24% учащихся смогли правильно выполнить все предложенные в этом эксперимен­те задания. Приведенное задание верно выполни­ли 50% учащихся (выбрали в качестве правиль­ного первое определение). 26% учащихся ответили, что оба предложенных определения являются правильными. Характерно, что последние учащие­ся вообще не видели разницы в предложенных формулировках. Они считали, что в них говорится об одном и том же, «только слова переставлены местами». Это означает, что они не понимают разницы между признаками необходимыми и до­статочными. Во второй формулировке указанные признаки являются необходимыми для ромба, но они недостаточны для его определения, так как этим требованиям удовлетворяет не только ромб, но и делтоид.

Учащимся восьмых-девятых классов было предложено задание: «Докажите, какие из данных слов — краснота, камни, отцветший, большой, гвоздь, краснеющий — являются прилагательны­ми, а какие не являются». Один из учеников правильно воспроизвел определение прилагатель­ного, но применить его в задании не смог. Вот его ответ: «Надо проверить по вопросу «какой?». Если слово отвечает на вопрос «какой?», тогда оно прилагательное». Экспериментатор обращает внимание ученика на то, что в определении ука­зано еще одно требование: прилагательные обозначают признаки предметов. «Как быть с этим требованием? Может быть, оно лишнее и его можно исключить из определения? Ученик расте­рялся и выполнять задание отказался: «Ну, тогда я не знаю*.

Непонимание разницы между признаками необходимыми и достаточными, необходимыми и одновременно достаточными широко распростра­нено среди учащихся старших классов. Происхо­дит это потому, что ни в одном из,классов, ни в одном из изучаемых предметов эти важные логи­ческие знания не являются объектом специаль­ного усвоения. Вместе с тем указанные виды признаков могут быть усвоены уже в начальной школе. Естественно, ученики при этом должны не заучить определения прйзнаков, а научиться работать с ними, то есть выполнять определен­ные логические приемы мышления.

Прежде всего необходимо научить детей выводить следствия из факта принадлежности предмета к данному понятию. Это действие свя­зано с понятием необходимых свойств предмета. Познакомить с ним можно с помощью хорошо известных учащимся предметой. Например, учи­тель, обращаясь к классу, говорит: «Ребята, я принес карандаш. Он у- меня в портфеле. Вы его никогда не видели. Можете ли вы что-нибудь сказать о нем?» Дети дают разные ответы: одни называют грифель, другие — форму, третьи — корпус, который держит грифель, четвертые — цвет и т. д. Ответы детей анализируются с точки зрения обязательности названного детьми призна­ка. В результате выделяются два признака, без которых не может быть ни одного карандаша: наличие грифеля и корпуса, в котором этот гри­фель закреплен.

После этого учитель говорит, что признаки, которые в обязательном порядке есть у всех предметов данного класса, называются необходи мыми. Их отсутствие приводит к тому, что пред­мет оказывается не относящимся к данному классу. Если, например, карандаш не будет иметь корпуса, то он из карандаша превратится в гри­фель.

После этого учащиеся выполняют ряд заданий на выведение необходимых свойств. При этом, естественно, используется и учебный материал. Так, в начальных классах школьники знакомят­ся с понятием «отрезок». Учитель может предло­жить задание: «Известно, что линия является отрезком. Не исследуя свойств этой линии, мы можем утверждать, что эта линия обязательно обладает какими свойствами?» Учащиеся должны указать следующие свойства: а) часть прямой; б) ограничена с двух сторон. Наличие этих свойств вытекает из принадлежности линии к понятию «отрезок прямой».

Графически действие выведения следствий по­казано на рис. 3.

 

Количество свойств, которые могут быть при этом указаны, зависит от содержания самого понятия и от того, насколько продвинулись учащиеся в его изучении. Так, если учащиеся только еще приступили к изучению понятия «тре­угольник», то они смогут указать лишь те свойства, которые содержатся в определении: а) зам­кнутая фигура; б) состоит из трех отрезков прямой. После изучения всех теорем-, относящих­ся к треугольнику (уже в более старших классах), учащиеся смогут указать ряд дополнительных свойств: сумма внутренних углов равна 180°; сумма двух сторон больше третьей и т. д.

Таким образом, формирование приема выве­дения следствий начинается в младших классах и продолжается во всех последующих.

После знакомства с необходимыми признака­ми вводятся понятия признаков достаточных и признаков необходимых и одновременно до­статочных. Важно показать, что не всякий не­обходимый признак является достаточным. Ошиб­ки учащихся связаны именно с тем, что они с необходимыми признаками действуют как с доста­точными. Например, четырехугольник, имеющий хотя бы два прямых угла, они считают прямо­угольником. Это неверно, ибо такими свойствами обладает и прямоугольная трапеция. И для нее, и для прямоугольника это свойства необходи­мые, но не достаточные.

И наоборот, не всякое достаточное свойство является необходимым, на что уже было указано раньше.

Подведение под понятие.

Теперь мы подошли к действию подведения под понятие. Отнесение любого объекта к тому или иному понятию предполагает наличие у этого объекта признаков данного понятия, достаточных или необходимых и -одновременно достаточных.

Как видим, формированию этого приема пред­шествует усвоение целого ряда логических зна­ний и действий, требующих их использования. Если же этого не сделать, то не будет полноцен­но усвоен прием подведения под понятие.

Что же представляет собой этот прием? Какую конкретную деятельность должен выполнять ученик, чтобы безошибочно подводить предметы под то или иное понятие?

Во-первых, надо научиться выделять понятие, под которое требуется подвести данный объект. (В ранее рассмотренном случае с подведением равностороннего треугольника под понятие «равно­бедренный треугольник» последнее и будет таким понятием.)

Во-вторых, надо установить, при каких усло­виях данный объект может относиться к данному понятию. (В рассмотренном случае — при каких условиях треугольник может быть равнобед­ренным. Этот шаг требует знания определения равнобедренного треугольника и умения выде­лить из этого определения систему необходимых и достаточных признаков.) Ученики не всегда, умея воспроизводить определение, умеют анали­зировать его с этой точки зрения.

В-третьих, надо установить, обладает ли дан­ный объект этими признаками. (В нашем случае — обладает ли равносторонний треугольник при­знаками равнобедренного. Для этого необходимо воспроизвести определение равностороннего треу­гольника, сопоставить данные в нем признаки с требуемыми, чему также надо специально обучать.)

Важно показать учащимся, что они должны учитывать именно всю систему необходимых и достаточных признаков. Типичная ошибка школь­ников состоит в том, что они при подведении заданных объектов под соответствующие понятия учитывают лишь некоторые признаки из числа необходимых и достаточных и поэтому относят к понятию и такие предметы, которые имеют лишь некоторые общие признаки с объектами дан­ного класса.

В одном из опытов, проведенном в московской школе, учащиеся шестого класса безошибочно воспроизводили определение окружности, но когда им предъявили эллипс и замкнутую кривую непра­вильной формы и спросили, можно ли эти фигуры назвать окружностью, они ответили ут­вердительно. Беседа показала, что при распозна­вании окружностей они опираются не на всю совокупность признаков, которые указаны в опре­делении окружности и которые они заучили, а только на замкнутость кривой и наличие во внутренней области точки, которую они называют центром.

Аналогично учащиеся шестых-седьмых классов нередко соглашаются назвать смежными углами любые два угла, составляющие в сумме 180°. Они хорошо знают, что любые смежные углы об­ладают этим свойством, то есть они усвоили, что это свойство является необходимым для всех объектов, относящихся к данному классу пред­метов. Но они его используют и как достаточное: считают, что все объекты, обладающие этим свой­ством, относятся к данному классу предметов. А это уже неверно: таким свойством обладают и объекты, не относящиеся к данному классу. Прямые вертикальные углы также в сумме со­ставляют 180°, а смежными не являются.

В связи с этим особенно важно специально поработать над системой свойств, в совокупности являющихся достаточными для определения объектов данного класса. Обязательно надо пока­зать, что учет только одного из свойств данной системы не позволяет определить объекты одно­значно, так как это свойство может быть общим для предметов разных классов.

Все указанные компоненты приема подведения под понятие связаны с определенными предметными знаниями и специфическими действиями, характерными для данного учебного предмета. Учащиеся, проверяя наличие искомых признаков у данного им объекта, могут использовать различ­ные методы, характерные для математики, химии, русского языка. Но во всех случаях общие тре­бования (проверка наличия определенной системы признаков) задает логика. Логика же задает тре­бования и к оценке полученных результатов.

Эти требования можно сформулировать следую­щим образом.

Предмет относится к данному понятию в том и только в том случае, когда он обладает всей системой необходимых и достаточных признаков. Если предмет не обладает хоть одним из этих признаков, он не относится к данному понятию. Если хоть про один признак ничего не известно, то при наличии всех остальных признаков ответ остается неопределенным: неизвестно, принадле­жит или не принадлежит предмет к данному по­нятию.

Учащиеся, получая задания на подведение объ­ектов под понятия, постепенно усваивают этот важный прием.

При работе с этим приемом особое внимание надо уделить тому случаю, когда ответ неопре­деленный. Этот случай усваивается труднее, чем другие, и при целенаправленной работе. Отсутст­вие указаний о том или ином признаке учащиеся обычно расценивают как отсутствие самого при­знака. Например, в задаче: «Даны две пересе­кающиеся прямые. Будут ли они перпендикуляр­ными?» — учащиеся дают отрицательный ответ. Они мотивируют его тем, что в условии не сказано, пересекаются ли прямые под прямым углом. От­вет неверный, так как в условии в равной мере не ^сказано, что прямые пересекаются не под пря­мым углом. Следовательно, про этот признак мы не получаем никакой информации, что и создав! ситуацию неопределенности: может быть, угол прямой, а может быть, не прямой. Правильный ответ в таких задачах: «Неизвестно».

Говоря о действии подведения под понятие, мы подчеркивали, что объект относится к тому или иному понятию тогда и только тогда, когда обладает всей системой необходимых и одновре­менно достаточных признаков. Но так бывает только при подведении под понятия, где призна­ки связаны союзом «и» (конъюнктивная структу­ра признаков). Кроме них, как мы уже говорили, есть понятия с другой структурой признаков: свя­занных союзом «или» (дизъюнктивная структура признаков). В этом случае правило подведения под понятие другое: для отнесения предмета к данному классу достаточно наличия лишь одного из указанных признаков. Эти два случая подве­дения под понятие необходимо дифференциро­вать. Иначе у учащихся может не сформироваться правильных' приемов подведения.

Задачи на подведение под понятие с дизъюнк­тивной структурой признаков вызывают у учащих­ся большие трудности. Как мы говорили, они до­ставляют немало хлопот и взрослым, если те не владеют соответствующим приемом. Задачи типа ♦ Я тебе мать, а ты мне не дочь», «У двух зря­чих есть слепой брат, но у него нет братьев» и т. п. нередко относят к головоломкам.

Какой же логический прием подведения под понятие требуется в подобных случаях? Схема­тически характер связей в данной ситуации пока­зан на рис. 4.

 

 

 

Если для понятий с конъюнктивной структу­рой признаков отсутствие хоть одного из них оз­начает непринадлежность предмета к данному понятию, то для понятий с дизъюнктивной структу­рой признаков это не так. Если нет признака В, то мы не имеем права делать отрицательный вывод, а должны обратиться к признаку С. Так, отсутствие дочери не мешает быть матерью — для этого достаточно иметь сына. Усвоив этот прием, учащиеся потом самостоятельно состав­ляют задачи с аналогичным содержанием.

Знакомство с этим приемом можно начать с указанных житейских примеров, а потом уже перейти к учебному материалу. Так, когда уча­щиеся изучают виды предложений, то ряд поня­тий имеет дизъюнктивную структуру признаков. Примером могут служить неполные предложе­ния. Для отнесения предложения к этому поня­тию достаточно одного из двух признаков, соеди­ненных союзом «или»: или нет подлежащего, или нет сказуемого.

Если учителя при усвоении нескольких поня­тий научат школьников логически строго выпол­нять действие подведения под понятие, то в даль­нейшем это действие может успешно использо­ваться при работе с любыми понятиями, имеющи­ми как конъюнктивную, так и дизъюнктивную структуру признаков.

 

Приемы определения понятий

Уже в начальных классах может быть начата работа над определениями. Но этому должно пред­шествовать усвоение отношений между родовыми и видовыми понятиями. Особое внимание учащих­ся следует обратить на то, что видовое понятие обязательно обладает всеми свойствами родового, а родовое понятие по отношению к видовому вы­ступает как следующая ступень обобщения. Разу­меется, следует при этом еще раз подчеркнуть, что в определение входят только необходимые и одновременно достаточные признаки. Учащимся могут быть показаны и отношения соподчине­ния. Так, в курсе природоведения можно пока­зать, что к лиственным деревьям относятся самые разные виды, а лиственные, в свою очередь, со­подчинены с хвойными: их вместе объединяет понятие «дерево*. Все это помогает заложить ос­нову для формирования более сложных приемов логического мышления.

В настоящее время учащиеся ни в одном из изучаемых в школе предметов не1 знакомятся с логической структурой определения. Они просто заучивают огромное число различных конкретных определений. И если ученик что-то забывает в определении, он не может путем логического рассуждения восстановить забытое, так как не знает структуры определений, не владеет прави­лами их построения.

Поэтому даже в старших классах учащиеся теряются, когда перед ними встает задача оце­нить предложенные определения. Так, в иссле­довании Н. А. Подгорецкой ^[5] учащимся десятых классов было предложено 20 определений прос­тейших геометрических понятий: ромб, квадрат, прямоугольник, параллелограмм, четырехуголь­ник. Среди определений были как правильные, так и ложные. Учащиеся должны были указать те и другие. Ошибочные определения содержали такие дефекты, как пропуск ближайшего родо­вого понятия, наличие только необходимых при­знаков, неточное указание видовых признаков и т. д. Оказалось, что даже хорошо и отлично успевающие учащиеся в среднем дали 65% пра­вильных ответов. Многие указали как верное та­кое определение параллелограмма: «Параллело­граммом называется четырехугольник, две про­тивоположные стороны которого параллельны». Это определение ошибочное, так как указанные в нем признаки не позволяют отличить паралле­лограмм от трапеции. Определение квадрата как геометрической фигуры, все стороны и все углы которой равны между собой, многие учащиеся также признали правильным. Их не смутило то, что квадрат определяется не через ближайшее ро­довое понятие (прямоугольник), а через весьма отдаленное — «геометрическая фигура».

Видо-родовые отношения понятий, логические правила определений должны войти в программу формирования логического мышления у учащих­ся.