Глава 1. Между числом и словом. Диалог математика и филолога

Когда задумываешься над природой тех трудностей, которые возникают у громадного большинства детей, попадающих из начальной школы в среднюю и испытывающих шок от столкновения с математической премудростью алгебры и геометрии, то поневоле обращаешь внимание: те или иные математические понятия у детей оказываются лишены того, что можно было бы назвать качественной филологической подкладкой.

В ходе двухлетних экспериментов была сделана попытка филологически проработать ключевые понятия, о которые спотыкается сознание младшего школьника при вступлении в мир математики. Был разработан целый комплекс задач, позволивших проявить эти трудности детского сознания при работе с понятиями сложения, вычитания, деления, умножения, равенства, числа, отрицательного числа, дробного числа и множеством других понятий. Авторам данногоподхода представляется чрезвычайно важным построить своеобразный мостик между жизненным лингвистическим опытом каждого ребенка, и миром математических абстракций в их реальной сложности. В данной главе демонстрируются обучающие возможности процесса филологизации математики на конкретных примерах из практики экспериментального класса в диалоге с неким математиком-скептиком, который не готов принять идею о филологической подоплеке математических способностей и полагает, что изрядное количество детей обладает врожденной математической тупостью, что навсегда закрывает им вход в мир математической красоты и изящества.

Глава 2. "Ловушки" математики

Подробным образом рассматриваются те ловушки, в которые попадает в среднем звене сознание ребенка, прошедшего курс традиционной начальной математики и, казалось бы, выучившегося арифметической премудрости. Показывается, почему традиционные типы задач и традиционная схема обучения математике не позволяют ребенку, успешно прошедшему трехлетний цикл начального обучения, перейти нетравматичным образом к освоению систематической математики среднего звена. Почему ребенок, успешно успевающей по математике в последнем классе начальной школы, вдруг оказывается совершенно не способен к математике при переходе на следующую ступень обучения?

Речь идет о глубинной несостыкованности программ обучения математике в начальной и средней школах. Этот факт, как известно, был положен в основу ряда экспериментов по качественной переработке системы математического обучения в начальной школе - наиболее известным и глубоким вариантом такого рода переработки является система развивающего обучения В.В.Давыдова, - однако описываемый нами эксперимент позволил поставить существенно новые акценты и привел к созданию целой группы учебных задач, позволяющих сознанию ребенка избежать указанных ловушек. В данном разделе дано подробное описание этих задач и продемонстрировано, к каким результатам может привести практическая работа с этими типами задач.

Глава 3. Что значит "понимать"?

Структуры детского (мифопоэтического) понимания в диалоге со структурами логического мышления - предмет обсуждения данной главы. Логический каркас математического мышления в диалоге с вероятностным характером мышления младшего школьника. Математика как логика. Логические структуры, спрятанные в математических задачах и необходимость их дешифровки для младшего школьника. Это то, на что обычно вообще не обращается внимания в преподавании математики в младших классах. В лучшем случае вводятся специальные занятия по формальной логике, но внутри преподавания самой математики совершенно не принята практика экспликации ее скрытых логических структур. В частности, вплоть до среднего звена от сознания детей ускользает тот факт, что знак равенства представляет собой жесткую логическую связку, а, скажем, знак "плюс" или знак "минус" такой жесткой логической связки не несет. Когда учащемуся первого или второго класса предъявляется задача типа _5=15, где он должен заполнить каким-нибудь знаком одну пропущенную позицию, он может в первый момент с легкостью предъявить какой угодно вариант - скажем, предложить поставить туда шестерку. А в выражении _5+15 на вопрос "какой знак здесь пропущен?", он может достаточно уверенно предлагать какие-то варианты, совершенно не видя абсурдности поставленного вопроса и того, что никакой определенный вариант здесь попросту невозможен (то, что оказывается вполне очевидным для взрослого сознания). А на вопрос: как ты думаешь, какой знак должен стоять между 1/2 и 1/2 может, к примеру, ответить: "плюс", но едва ли скажет "знак равенства", если только не предложить ему в условии задачи выбрать между знаком "равно" и знаком "больше-меньше". В последнем случае он, конечно же, без труда совершит верный выбор...

Оказывается, что скрывающиеся за теми или иными арифметическими знаками логические связки для учащегося начальной школы совершенно неочевидны и вовсе не представлены автоматически, коль скоро он освоил заложенные в программу арифметические упражнения.

Вся проблема в том, что "понимать" на языке дошкольника и "понимать" в логическом, взрослом смысле - это существенно различные вещи. Очень часто на языке ребенка формулировка "я понял" может расшифровываться как: "я услышал" или: "я запомнил". Или может означать множество других вещей, совершенно не предполагаемых взрослым. Ребенок очень часто запоминает текст, произносимый взрослым, и повторяет его к вящему удовольствию учителя. Однако при чем же здесь понимание? Очень часто бывает так, что ребенок уже перерешал громадное количество арифметических примеров и - ночью его разбуди, - он ответит, что семь плюс восемь - пятнадцать, а семнадцать плюс четырнадцать - тридцать один. Однако чаще всего это просто выучено как некий стишок, который ребенок готов рассказывать наизусть, однако при этом смысл сложения, вычитания, умножения или деления остается ему совершенно не ясен. Проверить, так это или не так, очень просто: предложить ребенку дать графическую интерпретацию совершенного им математического действия. И вот тут-то выясняется реальная цена его арифметических умений.

Ведь как строится обычно обучение математике в начальной школе? Как правило, так: учитель нечто объясняет, после чего спрашивает ребенка: ты понял? И если ребенок отвечает утвердительно, учитель вполне удовлетворен. Однако одна из наиболее частых обманок, на которую попадаются и тот и другой: понимание у ученика подменяется запоминанием.

Или вот другая обманка. Считается: если ребенок правильно и успешно решает примеры на сложение - значит, он понимает, что такое сложение; если правильно решает примеры на деление и умножение - значит, понимает, что такое деление и умножение и т.п. Однако достаточно поставить ряд проверочных экспериментов для того, чтобы убедиться, что это не так. Самый простой путь проверки - попросить представить графически любое арифметическое действие. Любопытно, что в этом смысле самыми трудными оказываются для детей, уже прошедших курс обучения в первом классе, «картиночные» задания самых первых страниц книги по математике за первый класс.

В данной главе представлены многочисленные понимательные сшибки, которые возникают у всякого ребенка младшего школьного возраста, но о которых чаще всего не подозревают учителя начальной школы, поскольку проявляются эти сшибки только на более высоких ступенях школьного обучения. В рамках описываемого эксперимента удалось выявить многие из этих тайных сшибок уже при работе с детьми 1-2 класса в результате целого ряда разработанных авторами остроумных и оригинальных задач, которые и предлагаются вниманию читателя с подробными комментариями тех трудностей, которые возникают у ребенка. Такой подход позволяет учителю более глубоко понять природу детского понимания и непонимания, по-новому взглянуть на многое в традиционных методиках преподавания математики.

Глава 4. Обманутые цифрами

Это дети, которые приходят в начальную школу после детсадовского и семейного обучения математике в соответствии с теми представлениями о ней, которые менее всего можно было бы назвать представлениями математическими.

Все начинается с того, что детей, начиная с трехлетнего возраста, начинают усиленно готовить к школе - в меру своего понимания того, что есть школьные трудности. Есть два главных звена такой подготовки: учить буквам и учить цифрам. Но при этом до шестидесяти процентов взрослых совершенно не отдают себе отчета в принципиальной разнице между числом и цифрой, и, тем самым, нередко создают у ребенка проблему на многие годы вперед. И виновны в этом не только родители. Получают хождение различного рода псевдоразвивающие пособия для детей, в которых детям-дошколятам предлагается выполнить абсурдные задания, типа: «найти цифру сто в слове стол». А ведь здесь что ни слово – то абсурд. Поскольку в слове «стол» если и можно что-то найти, то только слово сто, а уж никак не число, и уж тем более не цифру (поскольку цифры «сто» вообще в природе не существует). Увы, существующая программа обучения математике практически ничего не делает для коррекции такого, стихийно сложившегося представления. Более того, нередко ситуация еще более углубляется. Простой пример: третьеклассникам предлагается на доске запись огромной единицы и маленькой-маленькой девятки и задается вопрос: какая из этих двух цифр больше? И абсолютное большинство детей - имеющих по математике сплошь четверки и пятерки - уверенно показывают на... крохотную девятку! То есть за три года обучения у них так и не сформировалось различение числового содержания и знаково-символической формы. И это - один из камней преткновения, который - можно с уверенностью предсказать - создаст для них непреодолимые трудности в освоении алгебры.

Дело ведь не в том, чтобы ввести с первого класса "иксы" и "игреки"- а в том, чтобы сформировать у детей фундаментальное различение между знаковой формой и числовым содержанием. А именно этим совершенно не занимается начальная школа. И сколько не вводи в первом классе примитивные уравнения типа 5+х=6, это нисколько не готовит детей к алгебраическому уровню математической сложности, поскольку в традиционной системе все составляющие данного выражения - и 5, и 6, и "=", и "+", а отнюдь не только "Х", не представлены в сознании ребенка как символические структуры, за которыми скрывается некоторое содержание, существенно отличающееся от его символической формы.

Приведу в качестве примера весьма простой эксперимент. В разговоре с третьеклассниками я громко считаю лежащие передо мной тетради, указывая на каждую из них: "Первая, вторая, третья, четвертая, пятая..." А затем задаю вопрос: что получится, если прибавить ко второй тетради (приподнимаю эту тетрадь и всем показываю) шестую тетрадь (тоже приподнимаю и показываю)? Задаю этот вопрос и одновременно записываю на доске следующее выражение: "2-я + 6-я =..." И что вы думаете? Дети дружно кричат с мест: "Во-о-о-осемь!!!".

А вот другая сторона дела. Когда мамы и папы усердно учат своих детишек считать, они им показывают пальчиком на считаемые предметы: "один, два, три, четыре...", и, тем самым, как бы поименовывают в сознании ребенка эти предметы, и четвертый считаемый предмет почему-то получает в глазах несмышленыша-трехлетки звучное имя "четыре". И малыш с легкостью принимает эту заведомую дезинформацию за истину, и привыкает постепенно к тому, что "четыре" - это не обозначение числа предметов (в этом случае следовало бы на счет "один" - показывать один предмет, на счет "два" - два предмета, на счет "три" - три предмета, и так далее), а персональное имя одного из считаемых предметов. Т.е. идет тотальное смешение семантического поля слова "четыре" с семантическим полем слова "четвертый", и это с неизбежностью предуготавливает весьма непростые проблемы для школьного будущего этого карапуза. Вот вам и «подготовка к школе"!

Задача данной главы как раз и состоит в том, чтобы на конкретных примерах из практики экспериментального класса и материалах контрольных экспериментов в традиционной школе продемонстрировать опасности, подстерегающие ребенка при освоении традиционной школьной программы по математике и дать в руки учителей и родителей конкретные методические средства, позволяющие этих опасностей избежать.