Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2019-09-04 | 158 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Известно, что одна из первых проблем, на которых ломается сознание ребенка, переходящего на уровень среднего звена обучения, это проблема восприятия дробного числа. Нетрудно заметить, однако, что проблема эта в значительной степени искусственно предуготавливается всем процессом преподавания математики в начальных классах средней школы.
В самом деле, три года им усиленно объясняли, что один - это один, и только один. И вдруг выясняется, что "один" содержит в себе... бесконечно много. Что один может содержать в себе сто, тысячу, миллион частей - столько, сколько будет угодно. Весь трехлетний опыт освоения математики оказывается в одночасье перечеркнут... Но, может быть, иначе и нельзя? Может быть, абстракция дроби настолько сложна, что ее просто не имеет смысла вводить раньше, чем в пятом классе?
Одна из парадоксальных вещей, к которой мы пришли в результате наших экспериментов, состоит в том, что наиболее целесообразно начинать обучение математике не с операции сложения, а с операции... деления. Именно графическая работа с операцией деления в течение первых двух четвертей первого класса позволяет ребенку выйти на качественное понимание и феномена сложения, и феномена "вычитания", и феномена умножения. Но что самое удивительное, оказалось, что в результате систематической графической работы с операцией деления обыкновенные семилеточки и восьмилеточки легко и непринужденно выходят на идею дробного числа и начинают осуществлять операции с дробями, демонстрируя отчетливое понимание сущности дроби и удерживая в своем сознании абстракцию дробного числа как части целого.
Но как это возможно уже в первом классе, когда даже у пятиклассников идея дробного числа вызывает нередко тяжелые приступы головной боли?
|
Начнем с того, что сама операция деления вводится во втором классе традиционной школы наиболее абсурдным способом из всех, которые можно себе вообразить. Словно сам методический замысел заключается в том, чтобы разрушить у ребенка весь его жизненный опыт, который он накопил к семи годам по поводу того, что есть деление. Буквально с самого момента введения операции деления в программу второго класса ребенка начинают последовательно убеждать, что арифметическая операция деления не имеет ровным счетом никакого отношения к тому делению целого на равные части, коим каждый ребенок к семи-восьми годам неоднократно и с успехом занимался.
В самом деле, много ли найдется детей, которые к восьми годам ни разу не решали задачу деления, скажем конфеты или шоколадки напополам или ни три или на четыре равные части? Следовательно, им превосходно известно, и они чувствуют этот образ "на кончиках пальцев", что есть деление целого на части, и что получается в результате этого деления. А, значит, они находятся в полушаге от идеи дроби.
"Ты разделил шоколадку на две равных части. Что у тебя оказалось в каждой руке?" "По половинке!" "Из скольких половинок состоит ОДНА целая шоколадка?" "Из двух!". И ни для одного ребенка нет никакой сложности в том, что один состоит из двух. Все прекрасно понимают.
Или дайте семилетнему ребенку, не прошедшему еще никакой школьной премудрости, двадцать одну конфету, и предложите разделить эти конфеты на три равных части. И он с уверенностью произведет это деление и скажет вам, сколько у него оказалось конфет в КАЖДОЙ части, а, следовательно, снова успешно выполнит все ту же операцию деления целого на равные части, не зная еще никакой таблицы умножения.
А вот что касается третьеклассника, то он безусловно и твердо знает, что, если 21 разделить на три, получится семь. Однако для него это - просто заученное предложение. И если попросить его представить эту задачу предметно, с помощью конфет, то чаще всего его предметное решение этой задачи будет выглядеть следующим образом: он разложит двадцать одну конфету на кучки по... три конфеты в каждой! То есть к концу третьего класса он уже принципиально не слышит разницы между выражениями "разделить НА три" и "разделить ПО три". Для него это уже - что в лоб, что по лбу.
|
И корень этого смешения в том, как операция деления вводится во втором классе: будто по специальному умыслу, делается все возможное, чтобы внимание детей не фиксировалось на принципиальной разнице между двумя операциями: делением НА и делением ПО.
Открываем учебник для второго класса на 41й странице - именно там, где операция деления впервые появляется перед глазами изумленного второклассника. В качестве примеров, которые должны пояснить второкласснику смысл операции деления, здесь сразу же предлагаются задачи на деление по группам (разбиение по группам), и лишь спустя 20 страниц впервые появляется задача, которую можно было бы охарактеризовать как задачу деления на части. Однако ни слова про принципиальную разницу двух этих типов задач не говорится. А непрерывно проводится мысль, что, мол, нет разницы: что в лоб, что по лбу.
"8 апельсинов разложили на тарелки, по 2 апельсина на каждую. Сколько раз по два апельсина положили? Сколько тарелок потребовалось?" - это как раз та задача, на которой детям объясняют суть операции деления. И далее по тексту: "Такие задачи решают действием деления. Две точки (:) - знак деления. Решение задачи можно записать так: 8:2=4. Ответ: 4 тарелки".
И на протяжении последующих трех страниц операция деления последовательно представляется как операция разбиения по группам, по схеме: есть некоторое количество чего-то, и это "что-то" требуется разбить на равные группы определенного объема. Требуется определить, сколько групп или сколько частей при этом образуется.
В сущности говоря, если быть филологически точным, это есть задача группировки, а вовсе не задача деления" Фактически в такого рода задачах к детям обращаются вовсе не с просьбой разделить, а с просьбой сгруппировать, и определить, сколько в результате образуется групп или частей.
Как раз обратной к задаче группировки выступает задача деления, суть которой заключается в том, что некоторое целое надо разделить на некоторое количество частей, и определить, чему будет равна каждая отдельная часть. То есть, что будет из себя представлять частное от целого, после того, как целое будет разделено на равное количество частей.
|
Иначе говоря, только в результате операции деления на части получается то, что можно было бы охарактеризовать словом частное. А что касается операции разбиения на группы или группировки, то там результатом является, разумеется, никакое не частное от целого, а нечто прямо противоположное, а именно: количество частей.
Увы, ни о чем таком второкласснику не говорится. На протяжении десятков страниц авторы учебника снова и снова предлагают задачи на группировку множеств, называя их задачами... деления, и, утверждая, что в результате этих задач дети получают, якобы, частное. А когда на страницах учебника появляются-таки время от времени действительные задачи на деление, это никоим образом не комментируется как появление совершенно нового типа задач.
Разумеется, что посредством такого рода введения в деление в сознании ребенка провоцируется жесточайшая сшибка. Здравый смысл, который позволяет ребенку, не прошедшему обучение в школе, с легкостью осуществлять практическую задачу деления на части, разрушается, и ребенок, вместо того, чтобы попытаться понять смысл предлагаемых ему задач и операций, начинает их учить наизусть и тупо запоминать.
Немудрено, что, когда настает время изучения дробных чисел, он никак не может постичь их смысл, потому что сама операция деления на части оказывается совершенно не представлена в его сознании, и оттого выражения типа 2:5=2/5 совершенно им не воспринимаются. Ведь за два года он совершенно не сумел постичь смысл операции деления в отличие от операции разбиения по группам, и это становится одним из непреодолимых барьеров на пути вхождения в мир дробных чисел.
Другим не менее коварным барьером оказывается то, в течение трех лет у него формировали искаженный, штучный образ числа, в соответствии с которым один никак не может состоять из двух, из трех, или четырех, а, следовательно, и выражение типа 1/4+1/4+1/4+1/4=1 должно выглядеть в глазах вполне успешного ученика третьего класса, перешедшего в среднее звено, сущим абсурдом, который противоречит всему предварительному опыту его знакомства с математикой.
|
Где же выход? Возможно ли такое построение математического обучения в начальной школе, которое бы не вступало в жесточайший конфликт с программой среднего звена, и в то же время было бы доступно сознанию любого младшего школьника?
В данном разделе вниманию читателя предлагается целый класс задач на графическую интерпретацию математических действий, что позволяет сформировать у ребенка-семилетки глубокое понимание идеи деления и идеи дробного числа и позволяет уже на самых ранних ступенях математического обучения вводить операции с дробями.
Глава 6. Вселенная сложения
Впрочем, если кто-то думает, что сложение для детей, освоивших идею дробного числа, не составляет никаких трудностей, глубоко ошибается. Совсем напротив, в рамках своего эксперимента мы пришли к выводу, что операция сложения - это фантастически сложная операция - конечно, если относиться к ней всерьез, а не на том поверхностном уровне, на котором эту операцию (в виде ничего не говорящего уму и логическим способностям счетного навыка) преподносят в обычной начальной школе.
Ну, во-первых, операция сложения оказывается возможной в нашей системе лишь постольку, поскольку произведена предварительная операция разложения целого на части. Или, скажем иначе: операция деления целого на части (при том деление на равные части, под коим обычно младший школьник только и подразумевает операцию деления вообще, оказывается всего лишь частным случаем деления вообще!).
Итак, коль скоро мы научились делить целое на равные и на неравные части, - мы можем осуществлять обратную операцию, операцию сложения частей или операцию восстановления целого.
Конечно, все описываемые логические построения обычно совершенно чужды сознанию младшего школьника. Он складывает не потому, что этого требует какая-то логика, а потому, что его научили: если к двум прибавишь два, получится нечто, что мы назовем четыре. А что есть это "нечто", ему, в общем-то, абсолютно все равно. Он заучивает наизусть множество "примеров на сложение" (как потом - примеров на вычитание или на деление и умножение), потому что это требует школьная программа. И он научается считать, совершенно не понимая при этом, что он делает.
А стоит ему - уже к концу третьего класса! - предложить произвольное число - скажем, число 89 - разложить на произвольное количество частей, как он теряется. А предложение решить задачу 89=44+_5+2_, где каждый пропуск нужно заменить одним знаком, вызывает у него чувство невыносимого напряжения, и он ломается на этой задаче, оказываясь неспособным вообще понять, что от него требуется. А ведь это вариант все той же задачи на сложение - просто представленный в нестандартном для младшеклассника виде!
|
Потому-то и оказывается операция сложения более сложной, что она требует больших степеней абстракции, ибо обратной операцией для нее оказывается, конечно же, отнюдь не операция вычитания, а операция разложения на части. Частным случаем операции разложения на части (в случае разложения на равные части) оказывается то, что традиционно именуется операцией "деления".
Сложение неравных частей в целое, восстановление целого - это вообще крайне сложная в логическом отношении операция, и оттого целесообразно отработать эту операцию в графических формах, чему посвящена целая группа задач, разработаннных авторами данной системы обучения.
Еще одна группа крайне сложных задач на сложение, группа задач, требующая развития высокого уровня абстрагирующей способности - это задачи на сложение с отрицательными числами, что в традиционной школе обычно подменяется некоей операцией, именуемой вычитанием. Вычитание в младшешкольном смысле тоже ведь можно натренировать без малейшего привлечения каких бы то ни было умственных способностей. Но при чем здесь, однако, математика? Хорошие счетные способности - это повод выступать в цирке, но никак не основание для занятий математикой. А ведь детям после начальной школы - не в цирк, а в пятый класс идти...
А там на них обрушивается бред отрицательных чисел, который противоречит всему их опыту трехлетнего освоения математики, в котором их настойчиво учили, что есть некое "уменьшаемое", "вычитаемое" и некая "разность". И попробуйте теперь сознанию, в которое вбито такое представление, объяснить суть выражения типа 5-6=-1. Шесть - это что? "Вычитаемое" из пяти? Какой бред! Из пяти нельзя вычесть шесть, поскольку в пяти нет шести, которые из него можно было бы вычесть!.. А пять - это что? Уменьшаемое? Но уменьшить нельзя более, чем до ничего!
Кстати сказать, что касается слова "разность", то оно появляется в школьной трактовке операции вычитания вообще из другой оперы. Ведь что такое разность? Само слово разность несет на себе нагрузку действия, вообще не имеющего отношения ни к уменьшению, ни к вычитанию. Определение разности - это по сути своей есть определение разницы двух чисел в числовом выражении, а, следовательно, есть по своей сути результат не операции вычитания, но операции сравнения величин. Скажем, ребенку предлагаются два числа: число 5 и число 6 и предлагается ответить на вопрос, какова их количественная разница, или, другими словами, какова их разность. И ребенок отвечает: "разность между числами пять и шесть составляет один!".
Ну, а что же операция вычитания? Ее что - вообще не существует?
Существует. Но не как "операция, обратная сложению", а как операция количественного сравнения величин.
Даны два числа: минус восемь и десять. Нужно определить между ними разность, т.е. количественную разницу. Как это сделать? Очевидно, в два приема. Во-первых, определяем, какое из этих двух чисел больше. А, во вторых, вычитаем из большего меньшее. Вот так: 10-(-8)=18. И тогда все встает на свои места. Мы получаем разность, вычитая не из уменьшаемого вычитаемое, а из большего меньшее.
Однако это - существенно не то, чему учат первоклассника с их уменьшаемым и вычитаемым.
Давайте будем элементарно последовательны. Раз уж уменьшаемое - значит, что-то требуется уменьшить. Но после того как что-то уменьшили - единственный здравый вопрос, который можно поставить, это сколько осталось после уменьшения? И, следовательно, если первое число называется уменьшаемым, результат данной операции по уменьшению следует назвать - в согласии со здравым смыслом - остатком. Но в арифметической модели мира для младшеклассника слово остаток употребляется совершенно в другом месте - когда остается что-то лишнее при делении на равные части. И тогда дошлые методисты начального обучения совершают изящный филологический кульбит: дети, вы уменьшаете, но результатом этого вашего уменьшения оказывается... разность. Ну, и так далее.
И этим бредом три года отравляют сознание детей, чтобы в пятом классе обрушить на него нечто, прямо противоположное всему предыдущему!
А ведь говорить о математической операции вычитания немногим менее странно, чем говорить, скажем, об операции… отнимания. Понятно, что формулировка "отнять пять от десяти" в младшешкольной программе не прижилась: она звучит как своеобразный факт математического экспроприаторства, и слишком явно заимствована из сферы не математической, а, так сказать, социально-психологической: "мама! он опять у меня игрушку отнял!" "Ну-ка, сосчитай, доченька! Было у тебя пять игрушек, одну мальчик у тебя отнял, сколько осталось?..."
Однако по сути своей операция вычитания, как она принята в младших классах, это и есть не что иное, как все та же операция отнимания. "Было десять морковок, пять морковок убрали, сколько морковок осталось?" Именно так трактуется вычитание в первом классе, и это нацеливает сознание ребенка на то, что суть операции вычитания - это поиск остатка. Ни один ребенок, решая задачи на вычитание, не ищет никакую разность, а отвечает внутри себя совсем на другой вопрос: сколько останется, если значение первого числа уменьшить на значение второго числа. А если учителю почему-то нужно назвать получающийся остаток разностью, - что ж, наш первоклассник с легкостью назовет это разностью, однако на уровне внутреннего, неявного образа будет все же именовать получившийся результат остатком. Спросите ребенка-первоклассника: так что же такое разность в твоих примерах на вычитание? И он с уверенностью ответит: "ну как что? То, что остается после вычитания!"
А теперь представьте, пройдет немного времени, и ребенку придется "делить с остатком". И главное, что в итоге останется у ребенка в голове - это представление о совершенно удручающей путанице в вопросе, что есть что в математике.
Где же выход? Думается, что выход в самой математике. Но не в той выморочной псевдоматематике, которую сочинили методисты специально для младшеклассников, а в математике взрослой. Той математике, в которой знак «минус» означает никакое не вычитание, а отрицание. Той математике, в которой наряду с числами положительными абсолютно равноправно существуют числа отрицательные. Той математике, в которой ни один здравомыслящий человек не прочитает выражение 4-х=6 как "пример на вычитание": мол, мы из четырех вычли икс и у нас получилось шесть... Той математике, в которой не существует операции вычитания, а существует операция сложения с отрицательными числами.
Понятен недоуменный вопрос, который тут же возникает: а как же донести до сознания семилеточки-первоклассника идею отрицательного числа? Реально ли это, когда даже в пятом классе работа с абстракцией отрицательного числа вызывает у детей огромные затруднения?
В том-то и состоит суть дела, что, если сознание ученика еще не затуманено преподаванием традиционной арифметики с ее «вычитанием", сформировать абстракцию отрицательного числа у ребенка 7-8 лет оказывается вполне возможным. В нашем эксперименте создан целый цикл упражнений, позволяющих успешно решить эту задачу по формированию у ребенка абстракции отрицательного числа, а, следовательно, и абстракции модуля числа. В этом случае дети не просто научаются решать задачи на сложение с отрицательными числами, но и демонстрируют высокий уровень понимания самой сути отрицательного числа. И тогда то, что традиционно именуется операцией вычитания, оказывается для них всего лишь частным случаем сложнейшей операции сложения. И выражение типа 4-2=2 они с легкостью расшифровывают как задачу на сложение числа 4 с числом -2. Разработаны и проверочные эксперименты, которые доказывают, что дети на самом деле понимают суть и логику происходящего при этом процесса.
В главе представлена целая система задач, которая позволяет сформировать у младшего школьника глубинное понимание операции сложения с отрицательными числами, и, следовательно, способна подготовить его к вхождению в мир "большой математики".
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!