Тема 1.3. Последовательность и ряды

 

1. Числовой ряд.

Пусть задана числовая последовательность , . Тогда последовательность (1) называется числовым рядом и обозначается, или (2) числа называется членами ряда (2), соответственно первым, вторым, … членами ряда.

Суммы называются частичными суммами ряда (2)

Ряд (3) называется остатком ряда (2). Отметим, что у ряда (3) первым членом является член исходного ряда (2) и к-ый член ряда (3) равен .

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится.

Если последовательность частичных сумм расходится, то он называется расходящимся.

То если существует предел , то ряд называется сходящимся, а число, а число суммой сходящегося ряда.

Если частичная сумма ряда (2) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела, то ряд называется расходящимся.

Разность называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т. е. и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

2. Геометрический ряд

Геометрический ряд, это ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

а) Если < 1 то, т. е. ряд сходится

б) Если > 1 то, т. е. ряд расходится

в) Если то, т. е. ряд расходится

г) Если то, ряд расходится

3. Гармонический ряд

Ряд вида называется гармоническим

 

1) Необходимый признак сходимости ряда

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера, т. е. если , то ряд расходится это достаточный признак расходимости ряда

2) Достаточный признак сходимости

а) Признак сравнения с положительными членами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого заведомо расходящегося ряда. При исследовании на сходимость и расходимость по этому признаку часть используется геометрический ряд, который сходится при < 1 и расходится при и гармонический ряд , который является расходящимся.

б) Признак Даламбера

Если для ряда с положительным членом выполняется условие, то ряд сходится при < 1 и расходится при > 1. Признак Даламбера не дает ответа, если . В этом случае для исследования ряда применяется другие приемы.

Найти сумму членов ряда:

а)

б)

Решение: а) Найдем частичные суммы членов ряда:

Запишем последовательность частичных сумм

Общий член будет:

Следовательно

Так как , то ряд сходится и его сумма равна

б) Найдем первый способ: частичные суммы членов ряда:

и т. д.

Запишем последовательность частичных сумм:

Следовательно:

Значит, ряд сходится и его сумма равна 1

2 способ

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, которой . Используя формулу ; получим Значит ряд, сходится

 

2.Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения:

а)

б)

 

Решение:

а) Найдем

Необходимое условие выполнено. Рассмотрим достаточное условие: сравним данный ряд с геометрическим рядом.

который сходится, т. к. <

Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получим неравенство:

< < < ;

т. е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.

б) Имеем

Выполняется достаточный признак расходимости ряда, следовательно, ряд расходится

 

3.Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

а)

б)

Решение: а) общий член

Найдем предел отношения , т. е.

<

Следовательно, ряд расходится.

б) Имеем

> Значит, ряд расходится.

Вопросы для самопроверки:

1. Какая последовательность называется числовым рядом?

2. Как обозначаются числовой ряд?

3. Какие числа называются частичными суммами ряда?

4. Какой ряд называется промежуточным остатком ряда?

5. Если последовательность части сумм сходится, то, как называется такой ряд?

6. Если последовательность частичных сумм расходится, то, как называется такой ряд?

7. Если существует предел , то, как называется такой ряд?

8. Как называется разность

9. Если ряд сходится, то, будет, ли его остаток стремится к нулю?

10. Какой ряд называется геометрическим?

11. Какое условие, геометрический ряд сходится и при каком, условии расходятся?

12. Какой ряд называется гармоническим?

13. Если и , то будет, ли гармонический ряд сходится?

14. Сформулировать необходимый признак сходимости ряда.

15. Сформулировать достаточный признак сходимости ряда.

16. К какому признаку сходимости относится высказывание: исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящиеся ряда.

17. При исследовании на сходимость по признаку, сравнения какой ряд обычно рассматривают?

18. Сформулировать признак Даламбера

19. Если выполняется условие то, при каком условии ряд, сходится и при каком условии ряд расходится.

 

 

Тема 1.4. Комплексные числа

 

Комплексными называются числа вида где действительные числа, -число, определенное равенством -называют мнимой единицей.

 

Действия сложения и умножения:

1. Два комплексных числа и называются равными, если

2.Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число

3.Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа. Действительное число называется действительной частью комплексного числа , а действительное число мнимой частью.

При , комплексное число обращается в чисто мнимое число .

Комплексное число называется комплексно сопряженным с числом и обозначается

Комплексные числа вида и называются противоположными.

Модулем комплексного числа называется число , т.е. .

Комплексное число можно изображать точкой плоскости с координатами

 

 

 

 

Действительное число изображается точкой оси абсцисс, которую называют действительной осью, мнимые числа-точками оси ординат, которую называют мнимой осью. Каждой точке плоскости с координатами с координатами соответствует один и только один вектор с началом в точке и концом в точке . Поэтому комплексное число можно изображать в виде вектора с началом в точке и концом в точке .

 

 

Свойства:

1.Длина вектора равна ;

2.Точки и симметричны относительно действительной оси;

3.Точки и симметричны относительно точки ;

4.Число геометрически изображаются как вектор, построенный по правилу сложения векторов, соответствующих точкам и .

 

 

 

 

5.Расстояние между точками и равно .

Угол между действительной осью ОХ и вектором называется аргументом комплексного числа .

Аргумент комплексного числа записывается так: или .

Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка называется главным значением аргумента.

Действия вычитания и деления:

1.Разностью комплексных чисел и называется комплексное число .

2.Делением комплексных чисел и называется комплексное число:

.

Формулы перехода от алгебраической к тригонометрической форме:

или

или

, где называется тригонометрической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме:

1.Произведение комплексных чисел и находится по формуле:

2.Частное комплексных чисел и находится по формуле: .

3.Для возведения в n-ю степень используется формула: , которая называется формулой Муавра.

4.Для извлечения корня n-й степени из комплексного числа , используется формула: , где -арифметический корень.

Найдите модуль и главное значение аргумента комплексных чисел:

1. ; 2. .

Решение:

1. ; ; ; ; ; ;

2. ; ;

 

 

Выполните действия: 1. ; 2. 3.

Решение:

1. .

2.

3.

 

Вычислите:

Решение:

Представьте в тригонометрической форме:

Решение:

или или

 

Представьте в алгебраической форме:

Решение:

 

 

Возведите в степень: ;

Решение: по формуле Муавра получим:

1.

 

Извлеките корень из комплексного числа:

Решение: Представим число в тригонометрической форме

если

если

Вопросы для самопроверки:

1.Дайте определение комплексного числа.

2.Какие числа называются комплексно сопряженными?

3.Какие комплексные числа называются равными?

4.Что называется модулем комплексного числа?

5.Дайте определение тригонометрической формы комплексного числа.

6.Как осуществляется переход от записи комплексного числа., заданного в алгебраической форме, к его тригонометрической форме?

7.Как умножаются и делятся комплексные числа, заданные в тригонометрической форме?

8.Как возводится в степень комплексное число, заданное в тригонометрической форме?

9.По какой формуле извлекается корень n-й степени из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме?