Стационарной системы и ее свойства

 

В теории автоматического управления широкое применение получил способ математического описания, основанный на понятии передаточной функции. Любая САУ осуществляет преобразование информации, т.е. каждой функции на выходе ставится в соответствие определенная функция на входе. Поэтому в каждой детерминированной САУ, описанию каждого элемента соответствует единственный вполне определенный оператор системы

Для расчетов обычно необходима ПФ разомкнутой САУ, а также ПФ замкнутой САУ относительно задающего воздействия, возмущения, ошибки и т.д.

В общем случае, для одномерной системы, математическое описание системы или объекта в виде передаточной функции есть отношение двух полиномов

W(s)= ,       (1)

где s – оператор Лапласа.

ПФ для разомкнутых САУ обозначается W (s). Для замкнутых САУ ПФ принято обозначать Ф(s) с указанием воздействия относительно которого она определена. Например,  – передаточная функция замкнутой САУ по управлению.

При этом корни полинома числителя в (1) называются нулями передаточной функции, а корни полинома знаменателя   являются полюсами передаточной функции.

Удобно использовать передаточную функцию в виде отношения двух нормированных полиномов (полиномов, у которых коэффициент при младшем члене равен 1), умноженных на постоянный коэффициент k – называемый статическим передаточным коэффициентом звена или системы, реже коэффициентом усиления

W(s)=k .                                (2)

                                                (3)

Формой описания процессов в многомерных линейных стационарных системах является передаточная матрица. Элементы, расположенные на главной диагонали такой матрицы, являются частными передаточными функциями прямых связей, остальные частные передаточные функции перекрестных связей.

В общем случае передаточная матрица имеет вид

,              (4)

где (s) – элементы передаточной матрицы, дробно-рациональные функции, являющиеся частными передаточными функциями многомерной САУ, связывающими между собой i -ый выход и j -ый вход объекта управления.

Общим свойством для элементов передаточной матрицы является то, что все они имеют одинаковый знаменатель:

.             (5)

Характеристическим полиномом системы  называется знаменатель передаточной функции (1). Характеристический полином приравненный к нулю, называется характеристическим уравнением. Корни выражения  являются характеристическими числами (полюсами) динамической системы, обозначаются  и очень важны при анализе системы на устойчивость.

Способов получения такой важнейшей характеристики, как передаточная функция известно много [1–5]. Некоторые из них применяются в этом издании.

Передаточная функция полностью характеризует динамические, а также статические свойства системы. Зная передаточную функцию системы и вид воздействия, можно определить переходный процесс на выходе системы.

Передаточные функции устойчивых динамических систем обладают следующими основными свойствами:

1. Передаточная функция W(s) представляет собой дробно рациональную функцию вида (1), причем в реальной системе порядок m числителя не превышает порядок n знаменателя (условие физической реализуемости передаточной функции).

2. Все коэффициенты  передаточной функции вещественны. Это следует из того, что они представляют собой функции параметров системы, т.е. могут быть только вещественными.

3. Невещественные нули и полюсы передаточной функции могут быть лишь комплексно-сопряженными.

4. Все полюсы  передаточной функции W(s) расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости, что является условием устойчивости системы.

5. При s = jω передаточная функция (1) преобразуется в амплитудно-фазовую частотную характеристику системы, а при s =0 преобразуется в передаточный коэффициент (3).

Контрольные вопросы.

1. Что называется передаточной функцией?

2. Сколько описаний в виде передаточной функции может иметь один и тот же объект управления?

3. Можно ли по виду передаточной функции определить размерность описываемого объекта?

4. Можно ли по виду передаточной функции определить количество динамических звеньев описываемого объекта?

5. Что называется порядком объекта, чему он соответствует?

6. Что называется характеристическим полином?

7. Чему соответствует наивысшая степень характеристического полинома?

8. Что называют полюсами и нулями передаточной функции?

9. Назовите условие физической реализуемости передаточной функции?

10. Как определить коэффициент усиления по передаточной функции?

11. Можно ли по передаточной функции определить внутреннюю структуру САУ?

3. Структурные схемы. Преобразование структурных схем

 

Для наглядного представления сложной системы как совокупности элементов и связей между ними используются структурные схемы.

Структурная схема показывает строение автоматической системы, наличие внешних воздействий и точки их приложения, пути распространения воздействий и выходную величину.

Условные знаки, наносимые на структурную схему, приведены на рис. 2. Динамическое или статическое звено изображается прямоугольником, в котором указывается передаточная функция звена. или ее математическое выражение (рис. 2.в). Воздействия на систему и воздействия звеньев друг на друга (сигналы) изображаются стрелками (рис. 2 а–ж). Около каждой стрелки указывается, какую физическую величину или обобщенную координату системы она изображает. На динамическое звено может воздействовать лишь одна входная величина, поэтому используются знаки суммирования и сравнения сигналов (рис. 2. д–е). Суммироваться и сравниваться могут лишь сигналы одной и той же физической природы. В каждом динамическом звене воздействие передается только в одном направлении со входа звена на вход последующего. Разветвление сигнала обозначается точкой (рис. 2. г). Смена знака сигнала обозначается знаково или штриховкой соответствующего сегмента сумматора (рис. 2 ж).

Рис. 2. Условные знаки структурных схем:

а – входная величина (воздействие, сигнал); б - выходная величина (воздействие сигнал;

 в – динамическое звено (его изображение и передаточная функция); г – разветвление сигнала;

 д – суммирование сигналов; е – сравнение двух сигналов; ж – изменение знака сигнала.

 

По структурной схеме можно составить систему уравнений относительно изображений всех переменных (обобщенных координат) или формализовать передаточную функцию. Структурная схема может быть составлена по уравнению системы в пространстве состояний или по дифференциальным уравнениям системы.

При составлении структурной схемы удобно начинать с изображения задающего воздействия и располагать динамические звенья, составляющие прямую цепь системы, слева направо до регулируемой величины. Тогда основная обратная связь и местные обратные связи будут направлены справа налево.

Структурные схемы разделяются на одноконтурные, имеющие только одну основную обратную связь, и многоконтурные, имеющие кроме основной еще и местные обратные связи.

Различные способы преобразования структурных схем облегчают определение передаточных функций сложных систем автоматического регулирования и дают возможность привести многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме.

Преобразование структурной схемы должно осуществляться на основании правил. Правила преобразования структурных схем можно найти в справочной литературе [2], некоторые из них приведены в табл. 1.

Прежде всего, каждое имеющееся в схеме типовое соединение звеньев (последовательное, параллельное и встречно-параллельное) следует заменить

эквивалентным звеном. Затем целесообразно выполнить перенос точек разветвления и сумматоров, чтобы в преобразованной таким образом схеме образовались новые типовые соединения звеньев. Эти соединения опять должны быть заменены эквивалентными звеньями, затем вновь может потребоваться перенос точек разветвления и сумматоров и другие преобразования, приведенные ниже. Для предупреждения ошибок следует вычерчивать структурную схему после каждого этапа преобразований и указывать на ней значения или символы вводимых эквивалентных звеньев.

Контрольные вопросы.

1. Что называется структурной схемой САУ?

2. Как на структурных схемах изображаются входные и выходные воздействия?

3. Как на структурных схемах изображается суммирование и разветвление сигналов?

4. Можно ли по структурной схеме определить размерность САУ?

5. Можно ли по структурной схеме определить порядок САУ?

6. Чему равна передаточная функция эквивалентного звена, полученная в результате замены двух звеньев, расположенных параллельно?

 

Таблица 1

Правила структурных преобразований