Найдем ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

M [ X ]=2·0,3+3·0,4+4·0,3=3;

D [ X ]=(2 – 3)²·0,3+(3 – 3)²·0,4+(4 – 3)²·0,3=0,6;

.◄

2. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее три раза подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в урну. Пусть Х – число извлеченных белых шаров. Составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Вероятность вынуть из урны белый шар р =0,6. Чтобы найти закон распределения случайной величины Х, воспользуемся формулой Бернулли, для которой n =3.

.

.

.

.

Итак, закон распределения имеет вид

Х
Р	0,064	0,288	0,432	0,216

 

Определим числовые характеристики случайной величины.

M [ X ]=0,288+0,864+0,648=1,8

D [ X ]= M [ X ²] – (M [ X ])²=1·0,288+4·0,432+9·0,216 – 3,24=0,72.

. ◄

3. Бросают две игральные кости. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, равной сумме очков при бросании двух костей

Решение. 1 способ. Используя результат примера 1 из раздела 8, получим

2 способ. Пусть – случайная величина, равная числу очков, выпавших на первой кости, а – случайная величина, равная числу очков, выпавших на второй кости. Сумма очков, выпавшая на обеих костях, есть случайная величина, равная .

Используя свойства математического ожидания и дисперсии ( и - независимые случайные величины) и результаты задачи 1 настоящего раздела, вычислим

,

. ◄

Пример. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

X
p	0,2	0,1	0,3	0,4

Найти: а) математическое ожидание М(Х);

б) дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение s (Х);

в) составить функцию распределения F(х) и построить её график.

Имеем: а) по формуле находим математическое ожидание Х: М(Х) = 2 × 0,2 + 4 × 0,1 + 5 × 0,3 + 7 × 0,4 = 5,1;

б) по формулам D(Х) = M (Х²) – [ M(Х)]² и найдём дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

= 2² × 0,2 + 4² × 0,1 + 5² × 0,3 + 7² × 0,4 = 29,5.

D(Х) = 29,5 – (5,1)² = 3,49; s(Х) = = 1,87;

в) по определению F(x) = P(X < x), т.е. F(x) есть вероятность того, что случайная X примет значение меньше, чем х.

Если х £ 2, то F(x) = P(X < 2) = 0.

Если 2 < x £ 4, то F(x) = P(X < 4) = P(X=2) = 0,2.

Если 4< x £ 5, то F(x) = P(Х < 5) = P(X=2)+(X=4) = 0,2+0,1 = 0,3.

Если 5< x £ 7, то F(x) = P(Х<7)= P(X=2)+P(X=4)+P(X=5)=0,2+0,1+0,3 = 0,6.

Если x>7, то F(x) = P(Х<7) = P(X=2) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=7) = = 0,2+0,1+0,3+0,4 = 1.

Построим график F(x):

 

◄

4. Моменты случайных величин. Пусть некоторое натуральное число.

Моментом порядка случайной величины называется число

.

Центральным моментом порядка случайной величины называется число

.

Ковариацией (корреляционнным моментом) двух случайных величин и называется число

.

Свойства ковариации.

1) Для любых двух случайных величин и

2) Для любых случайных величин и

3) Для любых случайных величин , и

.

Коэффициентом корреляции двух случайных величин и называется число

.

Корреляционный момент и коэффициент корреляции характеризуют степень линейной зависимости случайных величин.

Если ковариация или коэффициент корреляции двух случайных величин равны нулю, то такие величины называются некоррелированными.

Для любых двух случайных величин и

Из последней формулы следует важное свойство. Если случайные величины и некоррелированы, то

Свойства коэффициента корреляции

1) ,

где

2) , и , тогда и только тогда, когда существуют такие и , что .

3) Если случайные величины и независимы, то .

Обратное утверждение неверно, т.е. из равенства нулю корреляции не следует независимость случайных величин

Пример. В ящике два шара, на каждом из которых написана цифра 1, и три шара, на каждом из которых написана цифра 2.

Один за другим вынимают два шара. Пусть - это номер на первом шаре, а – номер на втором шаре. Найти коэффициент корреляции и .

Совместный закон распределения был найден ранее

 

(X,Y)	(1,1)	(1,2)	(2,1)	(2,2)
P	1/10	3/10	3/10	3/10

 

Для упрощения вычислений введем случайные величины и . По первому свойству коэффициента корреляции имеем .Совместный закон распределения величин может быть легко получен из закона распределения

 

(X 1 ,Y 1)	(0,0)	(0,1)	(1,0)	(1,1)
P	1/10	3/10	3/10	3/10

 

Законы распределения и могут быть также легко получены по свойствам вероятностей :

, .

, .

Тогда , , .

Окончательно имеем

,

. ◄

5. Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины Х, которая может принимать n +1 значение 0,1,2,…, n, описываемый формулой Бернулли , называется биномиальным. Запишем биномиальный закон в виде таблицы

Х				…	n
Р				…	pn

 

Определим числовые характеристики биномиального распределения. Пусть Х – число появлений события А в n испытаниях. Если обозначим через X_k – число появлений события А в k -ом испытании, то .

Закон распределения случайной величины X_k имеет вид

Xk
Р	q	P

 

Легко видеть, что M [ X_k ]= p, D [ X_k ]= pq. Тогда для случайной величины Х

. . .

Пример. Предприятие выпускает 90% изделий высшего сорта. Составить закон распределения случайной величины Х – числа изделий высшего сорта из трёх взятых наудачу изделий. Найти M(X), D(X), s(Х).

Решение: Случайная величина Х – число изделий высшего сорта среди трёх отобранных изделий может принимать одно из значений: 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли:

. Известно, что n = 3; p = 0,9; q = 0,1; k= 0,1,2,3, тогда

P₁(X=0) = (0,1)³ = 0,001.

P₂(X=1) = C₃¹ ∙ 0,9¹ ∙ 0,1² = 0,027.

P₃(X=2) = C₃² ∙ 0,9² ∙ 0,1 = 0,243.

P₄(X=3) = 0,9³ = 0,729.

Проверка:

Р= Р₃(Х=0)+Р₃(Х=1)+Р₃(Х=2)+Р₃(Х=3)= 0,001+0,027+0,243 +0,729 = 1.

Закон распределения случайной величины Х:

 

X
P	0,001	0,027	0,243	0,729

 

M(X), D(X), s (X) случайной величины, распределённой по биноминальному закону, находятся по формулам:

M(X) = np, D(X) = npq, s (X) = .

M(X) = 3 ∙ 0,9 = 2,7; D(X) = 3 ∙ 0,9 ∙ 0,1 = 0,27; s (X) = = 0,53.

◄

 

6. Закон распределения Пуассона дискретной случайной величины. Этот закон определяется формулой Пуассона

, где λ = np.

Случайная величина Х – число появлений события А в n испытаниях при большом n и малой вероятности р имеет распределение Пуассона

Х				…	n
Р				…