Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2018-01-29 | 300 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим вариант потери устойчивости цилиндрической оболочки не по симметричной форме. Опыты показывают, что волны образуются под некоторым углом к образующей. Выделим полоску, расположенную под углом a к образующей см.рис. 18.6.
Рис.18.19
На нее приходится давление , которое выражается через давление в виде:
(18.62)
Боковое давление запишется в виде
(18.63)
Рассмотрим уравнение равновесия элемента полоски оболочки до момента потери устойчивости (см. соотношение (18.45)):
(18.64)
Здесь b - ширина полоски. В нашем случае дополнительная нагрузка в соотношении (18.64) примет вид:
(18.65)
Для подсчета и применим аппроксимацию дуг a и b квадратичной функцией. Рассмотрим сначала задачу определения . Вид сбоку на малый элемент дуги a (рис.18.20 в) дает:
Рис.18.20
(18.66)
Величина Н находится по соотношению:
(18.67)
Тогда для имеем аналогичную связь с величиной а:
(18.69)
Отсюда вытекает выражение для при в виде:
(18.70)
Для линии b радиус кривизны получится путем замены q на угол 90-q:
(18.71)
Таким образом, для получим соотношение
(18.72)
Подставляя сюда выражения для в соответствии с (18.62), (18.63) получим
(18.73)
Таким образом, уравнение равновесия элемента, рассмотренного на рис.18.19, примет вид
.
Пусть теперь достигло критического значения . Тогда даже при бесконечно малых его возмущениях мы получим большое изменение прогиба на величину . При этом на дополнительных изменениях кривизны элемента балки напряжения создадут добавочные нагрузки :
(18.74)
Уравнение для примет вид:
(18.75)
Решение ищем в виде
(18.76)
Здесь - неизвестная константа, - длина дуги, на протяжении которой имеет место изгиб полоски оболочки.
Подстановка (18.76) в (18.75) дает:
|
Варьируя величины можно найти минимальное значение
Теория пологих оболочек
Оболочки по сравнению с пластинами обладают гораздо большей прочностью и жесткостью. Это связано с тем, что в них нагрузка р частично компенсируется распорными реакциями (на рис. 19.1 показана только ).
Рис.19.1
Если оболочка пологая, т.е. , то положение элемента можно определять декартовыми координатами . Кроме того, длина элемента дуги также может вычисляться по простым формулам. Для элемента дуги вдоль в сечении y=const:
. (19.1)
Аналогично для элемента дуги x=const:
. (19.2)
Радиусы кривизны этих дуг можно определить по обычным формулам:
, (19.3)
. (19.4)
Таким образом, можно работать не с дуговыми координатами, а с декартовыми .
Рассмотрим уравнения равновесия элемента оболочки. Введем напряжения , которые действуют на уровне срединной поверхности. Аналогично введем - деформации, а также перемещения на этом же уровне.
Рис.19.2
Запишем уравнения равновесия в направлениях :
(19.5)
(19.6)
Ввиду пологости и соотношений (19.1), (19.2) используем далее вместо . В направлении оси уравнение будет почти таким же, как уравнение Софи-Жермен, но с добавлением проекций на ось :
(19.7)
. (19.8)
Здесь учтено, что кривые y=const, х=const на рис.19.1 имеют отрицательную кривизну, следовательно, .
Как следует из (19.7), уравнение для имеет почти такой же вид, как и для пластин. Отличие лишь в правой части. При этом видно, что эта правая часть меньше, чем р. Таким образом, получаем решение, аналогичное задаче изгиба пластины, но с меньшей внешней нагрузкой. Значит прогибы будут меньше, чем для пластины, следовательно, будут меньше и напряжения.Это показывает, что оболочка гораздо жестче и прочнее, чем пластина.
Для получения уравнения относительно прогиба используется функция напряжений (фактически следующая замена переменных):
(19.9)
Тогда уравнения (19.5), (19.6) удовлетворяются тождественно.
Кроме уравнений равновесия должны удовлетворять условию совместности деформаций. Для их получения надо сначала записать выражения для деформаций. Если т. В имеет только касательное перемещение , то
|
. (19.10)
Рис.19.3
Однако при наличии прогиба дуга дополнительно удлиняется на величину
. (19.11)
Тогда дополнительная деформация будет (ниже учтено, что угол наклона кривой уменьшается, следовательно, ):
:
. (19.12)
Суммарно получим
.
Таким образом,
. (19.13)
Аналогично получим
. (19.14)
При сдвиге изменение прямого угла
. (19.15)
Рис.19.4
Видно, что изменение длин у сторон элемента на углы не влияет. Поэтому дополнительных слагаемых в выражении для g (во втором соотношении Коши) не будет:
. (19.16)
Составим следующее выражение:
. (19.17)
После подстановки сюда формул (19.13), (19.14), (19.17) получим, что b связана только с :
. (19.18)
Здесь учтено, что ввиду пологости
. (19.19)
Они следуют из соотношений дифференциальной геометрии (формулы Петерсона-Кодацци и Гаусса).
Если подставить теперь в (19.17) деформации, выразив их через напряжения по закону Гука, то получим, что функция выражается через прогиб по соотношению (19.18). Далее, по соотношениям (19.9) получим, что
. (19.20)
Таким образом, j связана только с .
Проделаем эти процедуры, учитывая, что .
. (19.21)
. (19.22)
. (19.23)
После подстановки в (19.18) получим:
. (19.24)
Для исключения из (19.7) используем уравнение (19.24). Подставим в (19.7) напряжения , выраженные через функцию j по формуле (19.8). Затем применим к (19.7) оператор . Учтем, что
.
В результате получим уравнение вида
. (19.25)
Цилиндрическая панель.
Рассмотрим пример шарнирно опертой цилиндрической панели. Тогда
. (19.26)
Рассмотрим случай нагрузки р вида
. (19.27)
Отметим связь R с пролетом a и высотой H:
.
Отсюда
. (19.28)
Уравнения (19.7) и (19.24) примут вид
. (19.29)
. (19.30)
Рис.19.5
Тогда решение можно искать в виде:
(19.31)
(19.32)
Здесь - это прогиб в центре (размерность - м), - амплитуда функции напряжений (размерность - Н).
Подставляя в (19.29), (19.30) получим:
(19.33)
(19.34)
Исключим из (19.33) с помощью (19.34). Учтем, что
.
Тогда найдем:
. (19.35)
Подставив в (19.33) найдем
(19.36)
Отсюда видно, что по сравнению с пластиной прогиб панели может быть значительно меньше
Обозначим решение (19.35) в виде:
,
Тогда из (19.36) находим
(19.37)
Из (19.37)видно, что для предварительно искривленной пластины с радиусом R перемещения уменьшаются, поскольку уменьшается. Это можно назвать эффектом поддерживающим эффектом оболочечной формы. Интересно отметить, что при этом поддерживающий эффект оболочечной формы не зависит от модуля Юнга Е.
|
Из (19.34) видно также, что при больших R величина уменьшается и в пределе в панели не возникает распора, что соответствует физическому смыслу задачи, так как панель в этом случае превращается в пластину.
Сферическая панель.
Далее рассмотрим сферическую панель. Тогда
. (19.38)
Рис.19.6
Уравнения (19.7) и (19.24) примут вид
. (19.39)
. (19.40)
Снова рассмотрим панель под синусоидальной нагрузкой (19.27). Ищем решение в виде
,
Из (19.39), (19.40) вытекают соотношения
(19.41)
(19.42)
Таким образом, (19.42) представляет собой связь прогиба в центре с амплитудой функции напряжений :
Из (19.41) получим уравнение для :
Представим решение в виде
(19.43)
Снова из (19.43) видно, что при больших R величина уменьшается и в пределе в панели не возникает распора, так как панель в этом случае превращается в пластину. Из (19.41) находим
(19.44)
Из (19.44) видно, что перемещения у панели меньше, чем для пластины таких же размеров (как и для цилиндрической панели), поскольку уменьшается. Например, при соотношении R/h = 50, R=2a, a=b, прогиб у пластины будет в 20 раз больше чем у панели. При R/h = 50 прогиб у пластины будет больше уже в 80 раз.
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!