Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2018-01-29 | 738 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рис.11.1 Рис.11.2
Они возникают при расчете тел вращения. Для упрощения задачи переходят к полярной системе координат. Как видно из рисунка:
Тогда производные вычисляются следующим образом:
.
Далее:
.
Следовательно,
.
Подставляя вместо производных по х, у производные по r, j, с помощью этого соотношения получим новые системы уравнений в полярной системе координат. В случае осесимметричных задач состояние тела не зависит от угла j. То есть производные по , поэтому все уравнения сильно упрощаются.
Примечание. В системе координат х, у была введена функция Эри, через которую вычисляются напряжения:
.
Аналогичную функцию можно ввести в полярной системе координат:
.
Рис.11.3
При этом уравнения равновесия внутреннего элемента будут удовлетворяться автоматически, остается удовлетворить уравнения равновесия граничных элементов и условие совместности деформаций. Последнее принимает вид:
, где .
Общее решение этого уравнения можно найти в справочниках по дифференциальным уравнениям. Оно имеет довольно простой вид:
.
Задача о трубе
Самую большую трудность в теории упругости всегда составляет удовлетворение уравнений равновесия элементов на границе и условий закрепления, но для ряда задач удается получить точное решение.
Рис.11.4
В этой задаче решение имеет вид:
.
Сi – константы интегрирования уравнения. Их находят из условий равновесия граничных элементов 1 и 2. Выражения для них имеют вид:
.
Здесь r и R - внутренний и внешний радиусы трубы. Рассмотрим, например, случай отсутствия внутреннего давления. Тогда
.
Так как R > r, то C3< 0, а также ½ С2/p ½<½ C3 ½, то видно, что sr уменьшается к центру, s , наоборот, увеличивается к центру. Эпюры напряжений приведены на рис. 11.5. Чтобы проверить на прочность надо проанализировать условие:
|
.
Рис.11.5
Форма кривой sэфф сильно зависит от отношения .
Задача Кирша
Это задача о растяжении бесконечной пластины с круглым отверстием.
Рис.12.1
Оказывается, что система уравнений в полярной системе координат позволяет решить и кососимметричные задачи. Одной из них является задача о растяжении пластины с отверстием (пластина считается бесконечной). Задача Кирша знаменита тем, что позволяет найти (sj) max. Оказывается, что (sj) max = 3 р. Независимо от размеров и от упругих характеристик материала оно возникает в точке В.
Задачи подобного типа для разных видов отверстий называются задачами о концентрации напряжений.
Следствие: при расчете даже простых тел (типа стержней при растяжении), но с круговыми отверстиями (даже для малого размера отверстия) мы должны увеличивать в 3 раза напряжение, вычисляемое по формуле .
Рис.12.2
Задачи термоупругости
Запишем закон Дюгамеля-Неймана (закон линейного температурного расширения), который гласит, что при изменении температуры тела на величину оно изменяет свои линейные размеры. Температурная линейная деформация при этом прямо пропорциональна перепаду температуры:
.
Тогда обобщенный закон Гука с учетом закона Дюгамеля- Неймана примет вид:
Для изотропного тела изменение температуры не приводит к сдвигам, поэтому:
.
Так как a· D Т=const, то в уравнениях равновесия внутренних элементов a· D Т не участвует, поскольку производные от константы равны нулю, т.е. (a· D Т)′х= 0, (a· D Т)′у= 0. Слагаемое a· D Т входит только в уравнения равновесия граничных элементов и условия закрепления, если их выражаем через деформации.
Приведем точное решение, полученное для задачи о трубе при наличии перепада температур D Т = Тнаружн – Твнутр.. Оно имеет вид:
|
Примечание: некоторые конструкции получают температурные напряжения с большими перепадами (от сжимающих до растягивающих). Особенно большие перепады появляются в тех случаях, когда учитываются процессы теплопроводности, то есть процесс перетекания тепла из одной точки в другую. Уравнение, описывающее этот процесс, для плоской задачи имеет вид:
Здесь l - коэффициент, отражающий способность к переносу тепла. F -внутренний источник тепла. Это уравнение практически не имеет точных решений, поэтому такие задачи могут быть решены только приближённо.
ТеориЯ изгиба жестких плит
Основные соотношения этой теории с 3-й попытки получены Софи Жермен в 1816 г. Первая попытка была сделана ею в 1811 г. (инициировал исследования Б. Наполеон, объявив конкурс научных работ по этой теме).
Плита называется жесткой, если ее прогибы малы по сравнению с толщиной. Если прогибы велики, то при жестком закреплении кромок появляются силы растяжения плиты, так как размеры плиты в плане (т.е. по длине и по ширине) не могут увеличиваться.
Гипотезы Кирхгоффа-Лява
Решение ищется в перемещениях:
(14.1)
Рис. 14.1
Из анализа картины деформаций элемента плиты на рис. 14.2 можно заключить, что точки срединной поверхности в плоскости пластины не перемещаются (срединная поверхность - это плоскость, которая равноудалена от верхней и нижней граней, а её уравнение имеет вид z = 0). Тогда перемещения можно разложить в ряд Маклорена в виде:
Так как толщина плиты мала, то величина z тоже мала, поэтому можно принять:
Последнее выражение означает, что толщина пластины принимается неизменной.
Для дальнейшего упрощения функции ux 1, uy 1 выражают через uz 0 из геометрических соображений.
Поскольку толщина пластины не изменяется, то из рис.14.2 видно, что
. (14.2)
Рис. 14.2
Далее из рисунка видно, что a = b, так как это углы с перпендикулярными сторонами (это будет справедливо, если нормаль к срединной плоскости останется нормалью к срединной изогнутой поверхности, нарисованной пунктиром на рис.14.2). Тогда .
Но так как , то
.
А поскольку , то получаем:
.
Согласно (14.2) окончательно получим:
.
Аналогично
.
Для простоты записи функцию uz = uzo (x,y) обозначают через w (x,y), которую называют прогибом. Тогда:
(14.3)
Таким образом, перемещения любой точки пластины нам будут известны, если будет известен прогиб w.
|
Эти упрощенные соотношения (14.3) называются геометрическими соотношениями Кирхгоффа-Лява (1850). Утверждение о том, что нормаль остается нормалью и после деформации, а также утверждение о том, что она не меняет своей длины (т.е. толщина пластины не изменяется) называют геометрическими гипотезами Кирхгоффа-Лява.
Теперь можно вычислить деформации по соотношениям Коши, а затем напряжения по соотношениям закона Гука:
(14.4)
Остальные деформации получаются равными нулю:
(14.5)
Эти соотношения приближенные, так как мы оборвали ряд Маклорена. На самом деле деформации существуют, хотя и малы, а имеет порядок
14.2. Уравнение Софии-Жермен (уравнение для прогиба)
Выпишем уравнения равновесия:
(14.6)
Используем далее закон Гука:
(14.7)
Многочисленными исследованиями было доказано (см., в частности, формулы (14.10), (14.17), (14.19)), что для тонких пластин
. (14.8)
Аналогично
.
Эти соотношения называются статическими гипотезами Кирхгофа-Лява.
Пользуясь соотношением (14.8), из закона Гука (14.7) получим:
Отсюда можно найти σх, σу:
. (14.9)
Но в уравнениях равновесия σz,tyz,txz отбрасывать нельзя. Поскольку производная - это тангенс угла наклона кривой, то даже при малости функций tyz,txz угол их наклона может оказаться очень большим (рис.14.3).
x, z
Рис.14.3
Выразим , eх и eу через w по соотношениям Коши:
.
По закону Гука , а напряжения выражаются через деформации по формулам (14.9), следовательно:
(14.10)
Для изотропного материала , тогда
.
Подставим это в первые два уравнения равновесия (14.6).
Тогда из (14.6) получим:
(14.11)
Здесь введено обозначение:
.
Из (14.11) можно найти txz, tyz:
(14.12)
Для отыскания j 1, j 2 используем уравнения равновесия граничных элементов.
Для простоты рассмотрим случай, когда имеется лишь нормальное давление р (х,у) (рис.14.4). Тогда получим, что для элементов, примыкающих к верхней плоскости, т.е. при z= , должны иметь место соотношения статики:
. (14.13)
. (14.14)
При рассмотрении элементов, примыкающих к нижней грани, получим:
. (14.15)
. (14.16)
Рис.14.4
Подставим (14.12) в уравнения (14.13) и получим:
Таким образом, для получаем следующие выражения:
|
, . (14.17)
Это аналоги известной в сопротивлении материалов формулы Журавского.
Проверим, выполняются ли уравнения равновесия (14.15) для граничных элементов, которые примыкают к нижней грани. Поскольку для них , , то два уравнения равновесия (14.15) тоже выполняются.
Рассмотрим третье уравнение равновесия внутреннего элемента:
.
Подставим сюда выражения для txz, tyz в (14.17). Тогда получим:
. (14.18)
Обозначим:
.
Найдем σz, проинтегрировав уравнение (14.18) по z:
. (14.19)
Функцию ψ (х, у) определяем из уравнения равновесия граничного элемента, примыкающего к нижней грани, т.е. при :
: .
Подставляя , получим:
(14.20)
Введем обозначение:
.
D – называют цилиндрической жесткостью пластины.
Окончательно уравнение для w получим из уравнения равновесия граничного элемента, примыкающего к верхней грани. При должно иметь вид:
при .
Подставляя сюда по формуле (14.19) с учетом (14.20), получим:
. (14.21)
Можно проверить, что уравнение (14.16) будет выполняться тождественно.
Уравнение (14.21) и есть уравнение Софи-Жермен.
Отметим достоинстваполученной теории пластин:
1. Нужно находить только одну функцию w, через нее вычисляются все деформации и напряжения.
2. Функция w имеет физический смысл – это прогиб пластины, поэтому можно решение отыскивать даже по экспериментальным данным.
Отметим некоторые противоречия полученной теории (которые можно условно назвать ее недостатками), которые по сути являются следствиями того, что в разложениях перемещений в ряд Маклорена удержано всего по одному члену.
1. При выводе теории изгиба пластин используется утверждение о том, что нормаль остается нормалью и после деформации, а также утверждение о том, что она не меняет своей длины. Часто они записываются следующим образом: поперечных деформаций нет, т.е. . Отсюда следует, что
.
Это предположение является противоречивым, так как при продольном растяжении-сжатии элемента тела появляются поперечные деформации в виду эффекта Пуассона (рис.14.5). Действительно, согласно закону Гука:
.
Можно видеть (рис.14.5), что соотношение является справедливым только интегрально, т.е. для толщины пластины в целом, т.к. нижняя часть становится тоньше, а верхняя утолщается на такую же величину.
Рис.14.5
Это противоречие не влияет на расчеты на прочность, т.к. деформации не входят в условия прочности.
2. У гипотез Кирхгофа-Лява имеется и второе противоречие. Согласно соотношениям Коши было получено (см. выражения (14.5)), что Тогда из закона Гука для следует, что
= G , = G .
С другой стороны, при выводе уравнения Софи-Жермен (см. аналоги формулы Журавского (14.17)) считалось, что .
Эти противоречия также есть следствие приближенности выражений для перемещений (оборван ряд Маклорена). Как показали теоретические исследования, в тонких пластинах напряжения в сотни и более раз меньше, чем , . Это видно и из сравнения соотношений (14.10), (14.17), (14.19). Поэтому по отношению к можно записать:
|
.
Ясно, что их значения не отражаются на расчетах на прочность изотропных материалов.
3. При подсчете реактивных сил шарнирно опертой пластины в углах расчеты дают сосредоточенные силы, а это противоречит основам теории упругости, так как сосредоточенных сил в природе не существует. Значит, теория Кирхгофа-Лява позволяет получать хорошие решения только внутри области пластины, вблизи края решение может сильно отличаться от истинного, поэтому использование решения задачи о пластине в рамках гипотез Кирхгофа-Лява не допустимо для расчета воздействия на опоры пластины.
4. Возникают трудности при формулировке уравнений равновесия граничных элементов, примыкающих к незакрепленным торцам пластины.
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!