Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2018-01-28 | 895 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Алгебраическую сумму токов называют полным током.
Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления считается отрицательным.
Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Например, согласно рис.1.8:
Магнитное поле соленоида
Используя закон полного тока, определим напряженность магнитного поля внутри соленоида длиной ℓ. Согласно выражению
(1.21) имеем Hℓ = NI, откуда
(1.22)
Индукция магнитного поля внутри соленоида определяется по формуле:
(1.23)
где n = N/ℓ - число витков, приходящихся на единицу длины соленоида (плотность витков).
По формуле (1.22) можно рассчитать напряженность магнитного поля тороида
(ℓ = 2πr –длина средней линии тороида):
. (1.24)
Индукция магнитного поля тороида:
, (1.25)
где N – число витков тороида; r – радиус средней линии тороида.
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение магнитного поля?
2. Что является силовой характеристикой магнитного поля?
3. Как связаны между собой напряженность и индукция магнитного поля?
4. Как графически изображается магнитное поле?
5. Сформулируйте и запишите математическое выражение закона Био – Савара – Лапласа.
6. По какому правилу определяется направление вектора магнитной индукции (напряженности) элемента тока?
7. Назовите единицы напряженности и индукции магнитного поля.
8. Сформулируйте и поясните принцип суперпозиции магнитных полей.
9. По какой формуле рассчитывается индукция (напряженность) магнитного поля, созданного:
- проводником с током конечной длины;
- бесконечно длинным проводником с током;
- круговым витком с током в его центре и в произвольной точке на его оси?
10. Сформулируйте, запишите выражение и поясните закон полного тока (теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля).
11. Запишите выражение индукции (напряженности) магнитного поля соленоида, тороида
Примеры решения задач
Задача 1. Определить индукцию магнитного поля , созданного отрезком бесконечно длинного прямого проводника с током, в точке, равноудалённой от концов отрезка и находящейся на расстоянии 20 см от его середины. Сила тока, текущего по проводнику, I = 30 А, длина отрезка ℓ = 60 см.
Дано: Решение.
I = 30 АКаждый элемент тока() в данном случае
создаёт индукцию направленную в точке
ℓ =60 см = 0,6 м А (см. рис.1.9) перпендикулярно плоскости
чертежа (к нам).
= 20 см = 0,2 м Все элементы индукции направлены в
_______________ точке А одинаково, поэтому геометрическую
сумму всех векторов в точке А можно
-? заменить арифметической, т.е. .
Рис.1.9
Запишем закон Био – Савара – Лапласа:
. (1.26)
Преобразуем dB так, чтобы можно было взять интеграл по α, выразив и r через .
Из рис. 1.9 видно, что: , ,
где r – величина переменная, зависящая от угла α. Подставив r в формулу (1.26), получим
. (1.27)
Проинтегрируем выражение (1.27) в пределах от до :
;
,
где - угол между направлением начального элемента тока () и направлением радиус – вектора , проведённого от элемента тока к данной точке (угол острый); - угол между направлением конечного элемента тока () и направлением радиус–вектора от элемента тока до данной точки (угол тупой).
Из риc. 1.9 следует, что
;
.
Тогда .
Вычислим В, подставив числовые значения:
(Тл).
Ответ: Тл.
Задача 2. По двум длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии d =10 см друг от друга в воздухе, текут токи силой I = 15 А каждый. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого токами в точке, лежащей посередине между проводниками, для следующих случаев: 1)проводники параллельны, токи текут в одном направлении (рис. 1.10 а); 2)проводники параллельны, токи текут в противоположных направлениях (рис. 1.10 б); 3)проводники взаимно перпендикулярны, направления токов указаны на рис. 1.10 в.
Дано: Решение.
d = 10 см = 0,1 м
I = 15 А
r = r = = 5 м
___________________
В -?
а)
б)
в)
Рис. 1.10 а), б), в)
Результирующая индукция магнитного поля равна векторной сумме: , где - индукция поля, создаваемого током ; - индукция поля, создаваемого током I . Если и направлены по одной прямой, то векторная сумма может быть заменена алгебраической суммой:
(1.28)
При этом слагаемые B 1и B 2должны быть взяты с соответствующими знаками. В данной задаче во всех трёх случаях абсолютные значения индукций B 1и B 2 одинаковы, так как точки выбраны на равных расстояниях от проводников, по которым текут равные токи. Вычислим эти индукции по формуле
, (1.29)
где r = r = r ; ; = 1. Подставив числовые значения величин в формулу (1.29), найдём модули B 1и B 2:
мкТл.
1-й случай. Векторы и направлены по одной прямой (рис.1.10 а), следовательно, результирующая индукция определяется по формуле (1.28). Приняв направление вверх положительным, вниз – отрицательным, запишем: =60 мкТл, = -60 мкТл. Подставив в формулу (1.28) эти значения B 1и B 2 получим
2-й случай. Векторы и направлены по одной прямой в одну сторону (рис.1.10 б). Подставив в формулу (1.28) значения B 1и B 2, получим
(мкТл).
3-й случай. Векторы индукций магнитных полей, создаваемых токами в точке, лежащей на одинаковом расстоянии от проводников, взаимно перпендикулярны (рис.1.10 в). Результирующая индукция по абсолютному значению и направлению является диагональю квадрата, построенного на векторах и . По теореме Пифагора найдём
(1.30)
Подставив в формулу (1.30) значения B 1и B 2 и вычислив, получим
В = 84,6 (мкТл).
Ответ: 1) В = 0; 2) В = 120 мкТл; 3) В = 84,6 мкТл.
Задача 3. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми d = 15 см, текут токи I 1 = 70 А и I 2 = 50 А в одном направлении. Определить магнитную индукцию В в точке, удалённой на расстояние = 10 см от первого и на расстояние = 20 см от второго проводника.
Дано: Решение. см = 0,15 м
А
А
см = 0,1 м
см = 0,2 м
_________________ D
В -? C
Рис.1.11
Для того, чтобы найти магнитную индукцию в указанной точке А (рис.1.11), определим направления векторов индукций и полей, создаваемых каждым проводником в отдельности в точке А. , , т.к. и - радиусы силовых линий (от токов и ), проведенные в точку касания, а и являются касательными к силовым линиям. На рис.1.11 токи и перпендикулярны плоскости чертежа и идут «к нам».
По принципу суперпозиции . Векторы и сложим по правилу параллелограмма, диагональ которого является результирующим вектором . Модуль вектора найдём по теореме косинусов:
(1.31)
где α – угол между векторами и .
Значения индукций B 1и B 2 полей, созданных прямыми бесконечно длинными проводниками с токами и определяются по формулам:
; , (1.32)
где , - кратчайшие расстояния от токов I1, I2 соответственно до точки, в которой определяется магнитная индукция В. Подставим (1.32) в (1.31):
. (1.33)
На рис.1.11 углы равны, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому соs найдем из треугольника АDС по теореме косинусов , отсюда
cos .
Вычислим соs : cos
Определим индукцию В, подставив числовые значения в формулу (1.33):
= 178 (мкТл).
Ответ: В = 178 мкТл.
Задача 4. По длинному прямому проводнику, согнутому под прямым углом, течет ток I = 5A. Найти магнитную индукцию B в точке, лежащей на биссектрисе угла и, отстоящей от вершины угла на расстояние а = 10 см (рис.1.12).
|
Рис. 1.12
Дано: Решение.
Изобразим силовые линии индукции
магнитного поля для каждого отрезка провод-
а = 10 см = 0,1 м ника. Линии должны проходить через задан-
ную точку, лежать в плоскости, перпендику-
лярной току, и иметь центр на оси проводни-
В -? с током (рис. 1.12). Направление линий индукции определим по правилу правого винта. Касательные к силовым линиям в данной точке перпендикулярны плоскости чертежа и векторы и направлены «к нам».
Согласно принципу суперпозиции т.к. и направлены в одну сторону по одной прямой, то .
- индукция от вертикальной части провода; ˚, т.к. проводник в нижней части ограничен вершиной угла, а в верхней части бесконечен.
- индукция от горизонтальной части провода, ˚, , т.к. провод ограничен вершиной угла слева и бесконечен справа
- кратчайшее расстояние от вертикального и горизонтального проводов до данной точки А, находящейся на биссектрисе угла.
.
Подставим в данную формулу числовые значения и вычислим магнитную индукцию:
(Тл).
Ответ: Тл.
Задача 5. По двум одинаковым круговым виткам радиусом R = 5 см, плоскости которых взаимно перпендикулярны, а центры совпадают, текут одинаковые токи силой I = 2 А (рис.1.13). Найти индукцию магнитного поля в центре витков.
Дано: Решение.
R = 5 см = 5·10 м
= I = 2 A
_________________
В -?
Рис. 1.13
Индукцию магнитного поля, созданного каждым круговым витком в центре соответствующего витка, находим по формуле:
(1.34)
По правилу буравчика для выбранных направлений токов в витках вектор направлен от нас, а вектор направлен вправо
(см. рис. 1.13). По принципу суперпозиции результирующая индукция магнитного поля: = .
Поскольку векторы и взаимно перпендикулярны, то по теореме Пифагора из соответствующего прямоугольного треугольника находим
. (1.35)
Подставив выражение (1.34) в (1.35), получим:
.
Вычислим: = 35,4 (мкТл).
Ответ: В = 35,4 мкТл.
Задача 6. Требуется изготовить соленоид длиной L = 20 см и диаметром D = 5 см, создающий на своей оси магнитную индукцию B = 1,26 мТл. Найти разность потенциалов U, которую надо приложить к концам обмотки соленоида. Для обмотки применяют проволоку диаметром d = 0,5 мм. Удельное сопротивление меди ρ = 1,7 ∙ 10-8 Ом·м.
Дано: Решение
D = 5 см = 5 Разность потенциалов на концах обмотки
L = 20 см = 0,2 м соленоида
В = 1,26 Тл U = IR. (1.36)
d = 0,5 мм = 5 м Из выражения индукции магнитного по-
ля соленоида найдём силу
__________________ тока, текущего по соленоиду:
U -? , (1.37)
где n = N/L – плотность витков (количество витков на единицу длины).
Поскольку полное число витков соленоида N = L/d, выражение (1.37) можно привести к виду
. (1.38)
Сопротивление обмотки найдём по формуле
(1.39)
Здесь ℓ = πDN = πDL/d – длина обмотки (проволоки) соленоида;
S = πd² /4 – площадь поперечного сечения проволоки;
ρ – удельное сопротивление меди.
Подставив эти выражения в формулу (1.39), найдём
(1.40)
Преобразуя уравнение (1.36) с помощью формул (1.38) и (1.40), получим выражение для разности потенциалов на концах обмотки соленоида:
.
Вычислим: = 2,7 (В).
Ответ: U = 2,7 В.
Задача 7. По тороидальной катушке с числом витков N = 1000 течёт ток I = 5 А. Cредний диаметр катушки d = 40 см, радиус витков r = 5 см. Определить напряжённость Н магнитного поля вточках, находящихся от центра тороида на расстояниях а 1 = 5 см, а 2 = 20 см и а 3 = 23 см.
Дано: Решение.
N = 1000 Воспользуемся теоремой о циркуляции
вектора напряжённости магнитного
I = 5 А поля. В качестве контуров интегрирования
возьмём окружности с центрами в центре
d = 40 см = 0,4 м тороида и радиусами, равными расстоянию
от центра тороида до заданных точек
r = 5 cм = 5 м (см. рис.1.14). Точка 1 находится на рассто-
янии 5 см от центра тороида. Окружность,
а = 5 см = 5 м проведённая через эту точку, не будет
охватывать ток, поэтому
а = 0,23 м H 1 = 0 (1.41)
а = 0,2 м
___________________
Н , Н , Н -?
Рис. 1.14
Точка2 лежит на окружности, радиус которой равен среднему радиусу тороида (2 а = d). Плоскость, охватываемую этим контуром, пересекают N витков с током I, следовательно,
или ,
откуда
(1.42)
Точка 3 лежит внутри тороида, но находится на расстоянии > . Проведя рассуждения, аналогичные предыдущим, получим:
. (1.43)
Подставив числовые значения в (1.42) и (1.43), получим
; .
При заданных размерах катушки поле внутри тороида не будет однородным. Оно максимально у внутренней стороны обмотки и уменьшается по мере приближения к наружной стороне обмотки.
Ответ: Н 1 = 0; Н = 3,98 А/м; Н = 3,46 А/м.
Задачи для самостоятельного решения
Магнитное поле прямого тока
Задача 1.1. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного проводника в точке, равноудалённой от концов отрезка и находящейся на расстоянии = 4 см от его середины. Длина отрезка проводника ℓ = 20 см, а сила тока в проводнике I = 10 А.
Ответ: В = 46,5 мкТл.
Задача 1.2. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, находящимся на расстоянии d = 10 см друг от друга в вакууме, текут токи = 20 А и = 30 А одинакового направления. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого токами в точках, лежащих на прямой, соединяющей оба проводника, если 1) точка лежит на расстоянии = 2 см левее левого проводника; 2) точка лежит на расстоянии = 3 см правее правого проводника;
Ответ: 1) = 0,25 мТл; 2) = 0,23 мТл;
Задача 1.3. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, находящимся на расстоянии d = 9 см друг от друга в вакууме, текут токи = 10 А и = 20 А одинакового направления. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого токами в точках, лежащих на прямой, соединяющей оба проводника, если точка лежит на расстоянии = 3 см правее левого проводника.
Ответ: = 0.
Задача 1.4. По двум бесконечно длинным прямым проводникам, скрещенным под прямым углом, текут токи силой = 30 А и = 40 А. Расстояние между проводниками 20 см. Определить магнитную индукцию B в точке, одинакового удаленной от обоих проводников на расстояние, равное d.
Ответ: B = 50 мкТл.
Задача 1.5. Бесконечный прямой проводник с током = 30 А согнут под прямым углом. Определить индукцию магнитного поля В в точке, лежащей на продолжении горизонтальной части проводника, на расстоянии а = 30 см от вершины угла.
Ответ: В = 10 мкТл.
Задача 1.6. По бесконечно длинному прямому проводнику, изогнутому так, как это показано на рис.1.15, течёт ток силой I = 120 А. Определить магнитную индукцию В в точке А, если R = 10 см. Закругление представляет собой четверть окружности.
Ответ: В = 0,99 мкТл.
Задача 1.7. По бесконечно длинному прямому проводнику, согнутому под углом = 120º (рис.1.16), течёт ток силой I = 100 A. Найти магнитную индукцию В в точках, лежащих на биссектрисе угла, и удалённых от его вершины на расстояние а = 10 см.
Ответ: = 0,35 мТл; = 0,12 мТл.
Рис.1.15 Рис.1.16
Задача 1.8. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми d = 20 см, текут токи = 40 А и = 80 А в одном направлении. Определить магнитную индукцию В в точке, удалённой от первого проводника на = 12 см и от второго на = 16 см.
Ответ: В = 120 мкТл.
Задача 1.9. Два длинных параллельных проводника находятся на расстоянии d = 5 см один от другого. По проводникам текут в противоположных направлениях одинаковые токи силой I = 10А каждый. Найти напряженность Н магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии = 2 см от одного и = 3 см от другого проводника.
Ответ: Н =132 А/м.
Задача 1.10. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам текут токи силой = 20 А и = 30 А в одном направлении. Расстояние d между проводниками равно 10 см. Вычислить магнитную индукцию поля В в точке, удалённой от обоих проводников на одинаковое расстояние r = 10 см.
Ответ: В = 87,2 мкТл.
Задача 1.11. Определить индукцию магнитного поля B в центре проволочной квадратной рамки со стороной а = 15 см, если по рамке течёт ток I = 5 А.
Ответ: В = 37,3 мкТл.
Задача 1.12. По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника, течёт ток силой I = 60 А. Длины сторон прямоугольника: а = 30 см и b = 40 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей.
Ответ: В =200 мкТл.
Задача 1.13. По контуру в виде равностороннего треугольника течёт ток силой I = 40 А. длина стороны треугольника равна 30 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения высот.
Ответ: В = 240 мкТл.
Задача 1.14. По проводу, согнутому в виде правильного шестиугольника с длиной стороны, равной 20 см, течет ток силой I = 100 А. Найти напряженность Н магнитного поля в центре шестиугольника.
Ответ: Н = 276 А/м.
Задача 1.15. Проводник согнут в виде ромба со стороной а = 4 см. Углы при вершинах ромба равны и . Определить магнитную индукцию В поля в точке пересечения диагоналей ромба, если ток I в проводнике равен 30 А.
Ответ: В = 0,94 мТл.
Задача 1.16. По двум длинным параллельным прямым проводникам текут токи . Определить точку, в которой индукция магнитного поля равна нулю, если токи текут в одном направлении. Расстояние между проводниками равно а.
Ответ: x = .
Задача 1.17. По двум длинным параллельным прямым проводникам текут токи . Определить точку, в которой индукция магнитного поля равна нулю, если токи текут в противоположныхнаправлениях. Расстояние между проводниками равно а.
Ответ: х = 2 а.
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!