Графики изотермического процесса

Вообще, графики термодинамических процессов принято изображать в следующих системах координат:

• pV -диаграмма: ось абсцисс V, ось ординат p;

• V T-диаграмма: ось абсцисс T, ось ординат V;

• pT-диаграмма: ось абсцисс T, ось ординат p.

График изотермического процесса называется изотермой.

Изотерма на pV -диаграмме — это график обратно пропорциональной зависимости p = ^const _V . Такой график является гиперболой (вспомните алгебру — график функции ). Изотермагипербола изображена на рис. 7.

V

p

изотерма

Рис. 7. Изотерма на pV -диаграмме

Каждая изотерма отвечает определённому фиксированному значению температуры. Оказывается, что чем выше температура, тем выше лежит соответствующая изотерма на pV -диаграмме.

В самом деле, рассмотрим два изотермических процесса, совершаемых одним и тем же газом (рис. 8). Первый процесс идёт при температуре T ₁, второй — при температуре T ₂.

V

p

T

T

>

T

V

p

p

Рис. 8. Чем выше температура, тем выше изотерма

Фиксируем некоторое значение объёма V. На первой изотерме ему отвечает давление p ₁, на второй — p ₂ > p ₁. Но при фиксированном объёме давление тем больше, чем выше температура (молекулы начинают сильнее бить по стенкам). Значит, T ₂ > T ₁.

В оставшихся двух системах координат изотерма выглядит очень просто: это прямая, перпендикулярная оси T (рис. 9):

	изотерма

	изотерма

V p

TT

Рис. 9. Изотермы на V T - и pT -диаграммах

Изобарный процесс

Напомним ещё раз, что изобарный процесс — это процесс, проходящий при постоянном давлении. В ходе изобарного процесса меняются лишь объём газа и его температура.

Типичный пример изобарного процесса: газ находится под массивным поршнем, который может свободно перемещаться. Если масса поршня M и поперечное сечение поршня S, то давление газа всё время постоянно и равно

,

где p ₀ — атмосферное давление.

Пусть идеальный газ совершает изобарный процесс при давлении p. Снова рассмотрим два произвольных состояния газа; на этот раз значения макроскопических параметров будут равны p,V ₁ ,T ₁ и p,V ₂ ,T ₂.

Выпишем уравнения состояния:

,

Поделив их друг на друга, получим:

.

В принципе, уже и этого могло бы быть достаточно, но мы пойдём немного дальше. Перепишем полученное соотношение так, чтобы в одной части фигурировали только параметры первого состояния, а в другой части — только параметры второго состояния (иными словами, «разнесём индексы» по разным частям):

.

А отсюда теперь — ввиду произвольности выбора состояний! — получаем закон Гей-Люссака:

= const.

Иными словами, при постоянном давлении газа его объём прямо пропорционален температуре: V = const · T.

Почему объём растёт с ростом температуры? При повышении температуры молекулы начинают бить сильнее и приподнимают поршень. При этом концентрация молекул падает, удары становятся реже, так что в итоге давление сохраняет прежнее значение.

Графики изобарного процесса

График изобарного процесса называется изобарой. На V T -диаграмме изобара V = const · T является прямой линией (рис. 10):

T

V

изобара

Рис. 10. Изобара на V T -диаграмме

Пунктирный участок графика означает, что в случае реального газа при достаточно низких температурах модель идеального газа (а вместе с ней и закон Гей-Люссака) перестаёт работать. В самом деле, при снижении температуры частицы газа двигаются всё медленнее, и силы межмолекулярного взаимодействия оказывают всё более существенное влияние на их движение (аналогия: медленный мяч легче поймать, чем быстрый). Ну а при совсем уж низких температурах газы и вовсе превращаются в жидкости.

Разберёмся теперь, как меняется положение изобары при изменении давления. Оказывается, что чем больше давление, тем ниже идёт изобара на V T-диаграмме.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две изобары с давлениями p ₁ и p ₂ (рис. 11):

T

V

p

>

p

p

T

V

V

Рис. 11. Чем ниже изобара, тем больше давление

Зафиксируем некоторое значение температуры T. Мы видим, что V ₂ < V ₁. Но при фиксированной температуре объём тем меньше, чем больше давление (закон Бойля — Мариотта!).

Стало быть, p ₂ > p ₁.

В оставшихся двух системах координат изобара является прямой линией, перпендикулярной оси p (рис. 12):

p p

V

изобара

T

изобара

Рис. 12. Изобары на pV - и pT -диаграммах

Изохорный процесс

Изохорный процесс, напомним, — это процесс, проходящий при постоянном объёме. При изохорном процессе меняются только давление газа и его температура.

Изохорный процесс представить себе очень просто: это процесс, идущий в жёстком сосуде фиксированного объёма (или в цилиндре под поршнем, когда поршень закреплён).

Пусть идеальный газ совершает изохорный процесс в сосуде объёмом V. Опять-таки рассмотрим два произвольных состояния газа с параметрами p ₁ ,V,T ₁ и p ₂ ,V,T ₂. Имеем:

,

Делим эти уравнения друг на друга:

.

Как и при выводе закона Гей-Люссака, «разносим» индексы в разные части:

.

Ввиду произвольности выбора состояний мы приходим к закону Шарля:

= const.

Иными словами, при постоянном объёме газа его давление прямо пропорционально температуре: p = const · T.

Увеличение давления газа фиксированного объёма при его нагревании — вещь совершенно очевидная с физической точки зрения. Вы сами легко это объясните.

Графики изохорного процесса

График изохорного процесса называется изохорой. На pT -диаграмме изохора p = const · T является прямой линией (рис. 13):

T

p

изохора

Рис. 13. Изохора на pT -диаграмме

Смысл пунктирного участка тот же: неадекватность модели идеального газа при низких температурах.

Далее, чем больше объём, тем ниже идёт изохора на pT-диаграмме (рис. 14):

T

p

V

>

V

V

T

p

p

Рис. 14. Чем ниже изохора, тем больше объём

Доказательство аналогично предыдущему. Фиксируем температуру T и видим, что p ₂ < p ₁. Но при фиксированной температуре давление тем меньше, чем больше объём (снова закон Бойля — Мариотта). Стало быть, V ₂ > V ₁.

В оставшихся двух системах координат изохора является прямой линией, перпендикулярной оси V (рис. 15):

	изохора

T

V

изохора

p

V

Рис. 15. Изохоры на pV - и V T -диаграммах

Законы Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля называются также газовыми законами. Мы вывели газовые законы из уравнения Менделеева — Клапейрона. Но исторически всё было наоборот: газовые законы были установлены экспериментально, и намного раньше. Уравнение состояния появилось впоследствии как их обобщение.

Насыщенный пар

Если открытый стакан с водой оставить на долгое время, то в конце концов вода полностью улетучится. Точнее — испарится. Что такое испарение и почему оно происходит?

Испарение и конденсация

При данной температуре молекулы жидкости обладают разными скоростями. Скорости большинства молекул находятся вблизи некоторого среднего значения (характерного для этой температуры). Но попадаются молекулы, скорости которых значительно отличаются от средней как в меньшую, так и б´ольшую сторону.

На рис. 16 изображён примерный график распределения молекул жидкости по скоростям. Голубым фоном показано то самое большинство молекул, скорости которых группируются около среднего значения. Красный «хвост» графика — это небольшое число «быстрых» молекул, скорости которых существенно превышают среднюю скорость основной массы молекул жидкости.

Скоростьмолекул

Числомолекул

Быстрыемолекулы

Рис. 16. Распределение молекул по скоростям

Когда такая весьма быстрая молекула окажется на свободной поверхности жидкости (т.е. на границе раздела жидкости и воздуха), кинетической энергии этой молекулы может хватить на то, чтобы преодолеть силы притяжения остальных молекул и вылететь из жидкости. Данный процесс и есть испарение, а молекулы, покинувшие жидкость, образуют пар.

Итак, испарение — это процесс превращения жидкости в пар, происходящий на свободной поверхности жидкости ^[7].

Может случиться, что через некоторое время молекула пара вернётся обратно в жидкость. Процесс перехода молекул пара в жидкость называется конденсацией. Конденсация пара — процесс, обратный испарению жидкости.

Динамическое равновесие

А что будет, если сосуд с жидкостью герметично закрыть? Плотность пара над поверхностью жидкости начнёт увеличиваться; частицы пара будут всё сильнее мешать другим молекулам жидкости вылетать наружу, и скорость испарения станет уменьшаться. Одновременно начнёт увеличиваться скорость конденсации, так как с возрастанием концентрации пара число молекул, возвращающихся в жидкость, будет становиться всё больше.

Наконец, в какой-то момент скорость конденсации окажется равна скорости испарения. Наступит динамическое равновесие между жидкостью и паром: за единицу времени из жидкости будет вылетать столько же молекул, сколько возвращается в неё из пара. Начиная с этого момента количество жидкости перестанет убывать, а количество пара — увеличиваться; пар достигнет «насыщения».

Насыщенный пар — это пар, который находится в состоянии динамического равновесия со своей жидкостью. Пар, не достигший состояния динамического равновесия с жидкостью, называется ненасыщенным.

Давление и плотность насыщенного пара обозначаются p _н и ρ _н. Очевидно, p _н и ρ _н — это максимальные давление и плотность, которые может иметь пар при данной температуре. Иными словами, давление и плотность насыщенного пара всегда превышают давление и плотность ненасыщенного пара.

Свойства насыщенного пара

Оказывается, что состояние насыщенного пара (а ненасыщенного — тем более) можно приближённо описывать уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева — Клапейрона). В частности, имеем приближённое соотношение между давлением насыщенного пара и его плотностью:

(6)

Это весьма удивительный факт, подтверждаемый экспериментом. Ведь по своим свойствам насыщенный пар существенно отличается от идеального газа. Перечислим важнейшие из этих отличий.

1. При неизменной температуре плотность насыщенного пара не зависит от его объёма.

Если, например, насыщенный пар изотермически сжимать, то его плотность в первый момент возрастёт, скорость конденсации превысит скорость испарения, и часть пара конденсируется в жидкость — до тех пор, пока вновь не наступит динамическое равновесие, в котором плотность пара вернётся к своему прежнему значению.

Аналогично, при изотермическом расширении насыщенного пара его плотность в первый момент уменьшится (пар станет ненасыщенным), скорость испарения превысит скорость конденсации, и жидкость будет дополнительно испаряться до тех пор, пока опять не установится динамическое равновесие — т.е. пока пар снова не станет насыщенным с прежним значением плотности.

2. Давление насыщенного пара не зависит от его объёма.

Это следует из того, что плотность насыщенного пара не зависит от объёма, а давление однозначно связано с плотностью уравнением (6).

Как видим, закон Бойля — Мариотта, справедливый для идеальных газов, для насыщенного пара не выполняется. Это и не удивительно — ведь он получен из уравнения Менделеева — Клапейрона в предположении, что масса газа остаётся постоянной.

3. При неизменном объёме плотность насыщенного пара растёт с повышением температуры и уменьшается с понижением температуры.

Действительно, при увеличении температуры возрастает скорость испарения жидкости. Динамическое равновесие в первый момент нарушается, и происходит дополнительное испарение некоторой части жидкости. Пара будет прибавляться до тех пор, пока динамическое равновесие вновь не восстановится.

Точно так же при понижении температуры скорость испарения жидкости становится меньше, и часть пара конденсируется до тех пор, пока не восстановится динамическое равновесие — но уже с меньшим количеством пара.

Таким образом, при изохорном нагревании или охлаждении насыщенного пара его масса меняется, поэтому закон Шарля в данном случае не работает. Зависимость давления насыщенного пара от температуры уже не будет линейной функцией.

4. Давление насыщенного пара растёт с температурой быстрее, чем по линейному закону.

В самом деле, с увеличением температуры возрастает плотность насыщенного пара, а согласно уравнению (6) давление пропорционально произведению плотности на температуру.

Зависимость давления насыщенного пара от температуры является экспоненциальной (рис. 17). Она представлена участком 1–2 графика. Эту зависимость нельзя вывести из законов идеального газа.

T

p

изохора пара

Рис. 17. Зависимость давления пара от температуры

В точке 2 вся жидкость испаряется; при дальнейшем повышении температуры пар становится ненасыщенным, и его давление растёт линейно по закону Шарля (участок 2–3).

Вспомним, что линейный рост давления идеального газа вызван увеличением интенсивности ударов молекул о стенки сосуда. В случае нагревания насыщенного пара молекулы начинают бить не только сильнее, но и чаще — ведь пара становится больше. Одновременным действием этих двух факторов и вызван экспоненциальный рост давления насыщенного пара.

Влажность воздуха

Воздух, содержащий водяной пар, называется влажным. Чем больше пара находится в воздухе, тем выше влажность воздуха.

Абсолютная влажность — это парциальное давление водяного пара, находящегося в воздухе (т.е. давление, которое водяной пар оказывал бы сам по себе, в отсутствие других газов). Иногда абсолютной влажностью называют также плотность водяного пара в воздухе.

Относительная влажность воздуха ϕ — это отношение парциального давления водяного пара в нём к давлению насыщенного водяного пара при той же температуре. Как правило, это

отношение выражают в процентах:

p ϕ = · 100%.

p _н

Из уравнения Менделеева-Клапейрона (6) следует, что отношение давлений пара равно отношению плотностей. Так как само уравнение (6), напомним, описывает насыщенный пар лишь приближённо, мы имеем приближённое соотношение:

ρ ϕ = · 100%. ρ _н

Одним из приборов, измеряющих влажность воздуха, является психрометр. Он включает в себя два термометра, резервуар одного из которых завёрнут в мокрую ткань. Чем ниже влажность, тем интенсивнее идёт испарение воды из ткани, тем сильнее охлаждается резервуар «мокрого» термометра, и тем больше разность его показаний и показаний сухого термометра. По этой разности с помощью специальной психрометрической таблицы определяют влажность воздуха.

Внутренняя энергия

Частицы любого тела — атомы или молекулы — совершают хаотическое непрекращающееся движение (так называемое тепловое движение). Поэтому каждая частица обладает некоторой кинетической энергией.

Кроме того, частицы вещества взаимодействуют друг с другом силами электрического притяжения и отталкивания, а также посредством ядерных сил. Стало быть, вся система частиц данного тела обладает ещё и потенциальной энергией.

Кинетическая энергия теплового движения частиц и потенциальная энергия их взаимодействия вместе образуют новый вид энергии, не сводящийся к механической энергии тела (т.е. кинетической энергии движения тела как целого и потенциальной энергии его взаимодействия с другими телами). Этот вид энергии называется внутренней энергией.

Внутренняя энергия тела — это суммарная кинетическая энергия теплового движения его частиц плюс потенциальная энергия их взаимодействия друг с другом.

Внутренняя энергия термодинамической системы — это сумма внутренних энергий тел, входящих в систему.

Таким образом, внутреннюю энергию тела образуют следующие слагаемые.

1. Кинетическая энергия непрерывного хаотического движения частиц тела.

2. Потенциальная энергия молекул (атомов), обусловленная силами межмолекулярного взаимодействия.

3. Энергия электронов в атомах.

4. Внутриядерная энергия.

В случае простейшей модели вещества — идеального газа — для внутренней энергии можно получить явную формулу.