Построение эпюр крутящих моментов и определение диаметра вала из условий прочности и жесткости при кручении

Задание

Для стального вала круглого поперечного сечения определить значения внешних моментов, соответствующих передаваемым мощ­ностям, и уравновешенный момент (табл.7.1 и табл.7.2).

Построить эпюру крутящих моментов по длине вала.

Определить диаметры вала по сечениям из расчетов на проч­ность и жесткость. Полученный больший результат округлить до ближайшего четного или оканчивающегося на 5 числа.

При расчете использовать следующие данные: вал вращается с угловой скоростью 25 рад/с; материал вала — сталь, допуска­емое напряжение кручения 30 МПа, модуль упругости при сдвиге 8 • 10⁴ МПа; допускаемый угол закручивания [ ] = 0,02 рад/м.

Провести расчет для вала кольцевого сечения, приняв с = 0,9. Сделать выводы о целесообразности выполнения вала круглого или кольцевого сечения, сравнив площади поперечных сечений.

Цель работы - научиться выполнять проектировочные и проверочные расчеты круглого бруса для статически определимых систем, проводить проверку на жесткость.

Теоретическое обоснование

Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент. Внешними нагрузками также являются две противоположно направленные пары сил.

Распределение касательных напряжений по сечению при кручении(рис. 7.1)

Касательное напряжение в точке А:

Рис.7.1

(7.1)

где — расстояние от точки А до

центра сечения.

Условие прочности при кручении

; (круг), (7.2)

(кольцо), (7.3)

где М_к — крутящий момент в сечении, Н-м, Н-мм;

W_p — момент сопротивления при кручении, м³, мм³;

[т_к] — допускаемое напряжение при кручении, Н/м², Н/мм².

 

 

Проектировочный расчет, определение размеров по­перечного сечения

 

(7.4)

где d — наружный диаметр круглого сечения;

d_Bn — внутренний диаметр кольцевого сечения; с = d_BK/d.

Определение рационального расположения колесна валу

Рациональное расположение колес — расположение, при кото­ром максимальное значение крутящего момента на валу — наи­меньшее из возможных.

Для экономии металла сечение бруса рекомендуется выполнить кольцевым.

Условие жесткости при кручении

; G ≈ 0,4E (7.5)

где G — модуль упругости при сдвиге, Н/м², Н/мм²;

Е — модуль упругости при растяжении, Н/м², Н/мм².

[ φо ] — допускаемый угол закручивания, [φо] = 0, 54-1 град/м;

J_p — полярный момент инерции в сечении, м⁴, мм⁴.

 

(7.6)

Проектировочный расчет, определение наружное диаметра сечения

Порядок выполнения работы

1. Построить эпюру крутящих моментов по длине вала для пред­ложенной в задании схемы.

2. Выбрать рациональное расположение колес на валу и даль­нейшие расчеты проводить для вала с рационально расположенными шкивами.

3. Определить потребные диаметры вала круглого сечения из расчета на прочность и жесткость и выбрать наибольшее из полу­ченных значений, округлив величину диаметра.

4. Сравнить затраты металла для случая круглого и кольцево­го сечений. Сравнение провести по площадям поперечных сечений валов.

Площади валов рассчитать в наиболее нагруженном сечении (по максимальному крутящему моменту на эпюре моментов).

 

Контрольные вопросы

1. Какие деформации возникают при кручении?

2. Какие гипотезы выполняются при деформации кручения?

3. Изменяются ли длина и диаметр вала после скручивания?

4. Какие внутренние силовые факторы возникают при кручении?

5. Что такое рациональное расположение колос на валу?

6. Что такое полярный момент инерции? Какой физический смысл имеет эта величина?

7. В каких единицах измеряется?

Пример выполнения

Для заданного бруса (рис.7.1) построить эпюры крутящих моментов, рациональным расположением шкивов на валу добиться уменьшения значения максимального крутящего момента. Построить эпюру крутящих моментов при рациональном расположении шкивов. Из условия прочности определить диаметры валов для сплошного и кольцевого сечений, приняв с = . Сравнить полученные результаты по полученным площадям поперечных сечений. [τ] = 35 МПа.

Решение

1. Пользуясь методом сечений. Определяем крутящие моменты на участках вала (рис.7.2). Сечение 1 (рис.7.2а):

Сечение 2 (рис.7.2б):

Сечение 3 (рис.7.3в):

 

Рис.7.2

А б в

Рис.7.3

1. Строим эпюру крутящих моментов. Значения крутящих моментов откладываем вниз от оси, т.к. моменты отрицательные. Максимальное значение крутящего момента на валу в этом случае 1000 Н·м (рис.7.1).
2. Выберем рациональное расположение шкивов на валу. Наиболее целесообразно такое размещение шкивов, при котором наибольшие положительные и отрицательные значения крутящих моментов на участках будут по возможности одинаковыми. Из этих соображений ведущий шкив, передающий момент 1000 Н·м, помещают ближе к центру вала, ведомые шкивы 1 и 2 размещают слева от ведущего с моментом 1000 Н·м, шкив 3 остается на том же месте. Строим эпюру крутящих моментов при выбранном расположении шкивов (рис.7.3).

Максимальное значение крутящего момента на валу при выбранном расположении шкивов – 600 Н*м.

Рис.7.4

1. Определяем диаметры вала по сечениям при условии, что сечение – круг. Условие прочности при кручении:

Момент сопротивления кручению:

Определяем диаметры вала по сечениям:

Округляем полученные значения: , ,

1. Определяем диаметры вала по сечениям при условии, что сечение - кольцо

Моменты сопротивления остаются теми же. По условию

Полярный момент сопротивления кольца:

Формула для определения наружного диаметра вала кольцевого сечения:

Расчет можно провести по формуле:

Диаметры вала по сечениям:

Наружные диаметры вала кольцевого сечения практически не изменились.

Для кольцевого сечения: , ,

1. Для выводе об экономии металла, при переходе на кольцевое сечение, сравним площади сечений (рис.7.4)

При условии что сечение – круг (рис.7.4а)

Сплошное круглое сечение:

При условии, что сечение – кольцо, (рис.7.4б)

Кольцевое сечение:

Сравнительная оценка результатов:

Следовательно, при переходе с кругового на кольцевое сечение экономия металла по весу составит 1,3 раза.

А б

рис.7.4

 

Таблица 7.1

 

 

Таблица 7.2

 

Вариант	Параметры
a = b = с, м	Р1,кВт	Р2,кВт	Р3,кВт
	1,1	2,1	2,6	3,1
	1,2	2,2	2,7	3,2
	1,3	2,3	2,8	3,3
	1,4	2,4	2,9	3,4
	1,5	2,5	3,0	3,5
	1,6	2,6	3,1	3,6
	1,7	2,7	3,2	3,7
	1,8	2,8	3,3	3,8
	1,9	2,9	3,4	3,9
	2,0	3,0	3,5	4,0
	1,1	3,1	3,4	4,1
	1,2	3,2	3,3	4,2
	1,3	3,3	3,2	4,3
	1,4	3,4	3,1	4,5
	1,5	3,5	2,8	2,9
	1,3	2,1	2,6	3,1
	1,4	2,2	2,7	3,2
	1,5	2,3	2,8	3,3
	1,6	2,4	2,9	3,4
	1,7	2,5	3,0	3,5
	1,8	2,6	3,1	3,6
	1,9	2,7	3,2	3,7
	2,0	2,8	3,3	3,8
	1,1	2,9	3,4	3,9
	1,2	3,0	3,5	4,0
	1,3	3,1	3,4	4,1
	1,4	3,2	3,3	4,2
	1,5	3,3	3,2	4,3
	1,4	3,4	3,1	4,5
	1,9	3,5	2,8	2,9

 

ПРИЛОЖЕНИЕ А