Условия ослабления и наибольшего ослабления колебаний.

Мгновенное значение функции можно получить как проекцию на горизонтальную ось отрезка длиной U_m, вращающегося относительно начала прямоугольной системы координат с угловой частотой ω = 2p×f в положительном направлении (против часовой стрелки) (рис. 2.3).

Вращающийся отрезок будем называть вектором.

Рис. 2.3. Представление синусоиды вращающимся вектором

В момент t = 0 вектор образует с горизонтальной осью угол ψ и его проекция на горизонтальную ось равна U_mcos ψ, т.е. мгновенному значению функции при t = 0. За время t = t₁ вектор повернется на угол ω t₁ и окажется повернутым относительно горизонтальной оси на угол ω t₁ +y, его проекция на ось будет равна и т.д.

Таким образом, рассмотрение гармонических колебаний можно заменить рассмотрением вращающихся векторов. Для получения мгновенных значений условимся проектировать вектора на горизонтальную ось.

Если гармонические колебания имеют одну и ту же частоту, то соответствующие этим колебаниям векторы вращаются с одинаковой угловой частотой, и поэтому углы между ними сохраняются неизменными.

Зарисуем две гармонические функции

, (2.9)

имеющие одинаковую угловую частоту ω и начальные фазы y₁ и y₂ (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Векторы напряжений и соответствующие синусоиды

Кривая u₁, смещенная влево относительно u₂, возрастает от нуля до своего положительного максимума раньше, чем кривая u₂. Поэтому говорят, что u₁ опережает по фазе u₂, или наоборот. Разность начальных фаз φ = y₁ – (–y₂) называется фазовым сдвигом или углом сдвига u₁ относительно u₂. Этот угол и образуют векторы, показанные на верхней части рис. 2.4.

При равенстве начальных фаз, т.е. при φ = 0, векторы направлены в одну и ту же сторону, т.е. совпадают по фазе (синфазны). При фазовом сдвиге 180° векторы направлены в диаметрально противоположные стороны (находятся в противофазе).

Диаграмма, изображающая совокупность векторов, построенных с соблюдением их взаимной ориентации по фазе, называется векторной диаграммой.

Векторное представление гармонических функций, частота которых одинакова, облегчает алгебраические операции с ними и дает возможность наглядно представить процессы, происходящие в цепи.

Например, операция сложения

(2.10)

При использовании векторной диаграммы с целью установления фазовых сдвигов или амплитудных значений гармонических величин, имеющих одинаковую частоту, векторная диаграмма может считаться неподвижной. Это равносильно переходу во вращающуюся вместе с векторами систему координат.

Построение векторной диаграммы обычно не связано с определением мгновенных значений гармонических функций. В этом случае они строятся не для амплитуд, а для действующих значений. Кривые мгновенных значений называются временными диаграммами.

Колеблющееся тело может принимать участие в нескольких колебательных процессах, тогда следует найти результирующее колебание, другими словами, колебания необходимо сложить. В данном разделе будем складывать гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

применяя метод вращающегося вектора амплитуды, построим графически векторные диаграммы этих колебаний (рис. 1). Tax как векторы A₁ и A₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью ω₀, то разность фаз (φ₂ - φ₁) между ними будет оставаться постоянной. Значит, уравнение результирующего колебания будет

(1)

В формуле (1) амплитуда А и начальная фаза φ соответственно определяются выражениями

(2)

Значит, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает при этом также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ₂ - φ₁) складываемых колебаний.

 

Рис.1

 

Исследуем выражение (2) в зависимости от разности фаз (φ₂ - φ₁):

1) φ₂ - φ₁ = ±2mπ (m = 0, 1, 2,...), тогда A=A₁+A₂, т. е. амплитуда результирующего колебания А будет равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) φ₂ - φ₁ = ±(2m+1)π (m = 0, 1, 2,...), тогда A=|A₁–A₂|, т. е. амплитуда результирующего колебания будет равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Амплитуда результирующего колебания максимальна и равна сумме амплитуд слагаемых колебаний: если разность фаз этих колебаний составляет четное число п; если же разность фаз составляет нечетное число п, то амплитуда результирующего колебания минимальна и равна разности амплитуд слагаемых колебаний.

Для практики представляет особый интерес случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. После сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, которые возникают при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω+Δω, причем Δω<<ω. Выберем начало отсчета так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Δω/2<<ω, получим

(3)

Результирующее колебание (3) можно считать как гармоническое с частотой ω, амплитуда А_σ которого изменяется по следующему периодическому закону:

(4)

Частота изменения А_σ в два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т. е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний:

Период биений

Вид зависимости (3) показан на рис. 2, где сплошные жирные линии представляют график результирующего колебания (3), а огибающие их линии - график медленно меняющейся согласно уравнению (4) амплитуды.

 

Рис.2

 

Нахождение частоты тона (звука определенной высоты) биений между эталонным и измеряемым колебаниями — наиболее часто используемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений применяется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.

При исследовании сложного колебательного процесса нужно знать, что любые сложные периодические колебания s=f(t) можно представить в виде суперпозиции (наложения) одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, которые кратны циклической частоте ω₀:

(5)

Представление в виде (5) любой периодической функции связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье. Слагаемые ряда Фурье, которые определяют гармонические колебания с частотами ω₀, 2ω₀, 3ω₀,..., называются первой (или основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложного периодического колебания.