Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2018-01-07 | 356 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Из уравнения связи , обозначив , придем к уравнению , называемому дифференциальным уравнением гармонических колебаний или уравнением гармонического осциллятора без затухания. Его решением является функция . Величина называется собственной частотой колебаний системы без затухания.
Собственная частота и период колебаний математического маятника (материальной точки подвешенной на нерастяжимой нити длиной l): , . Для пружинного маятника – , , где m – масса тела, подвешенного к пружине с жесткостью k.
Рис.73
Для физического маятника (тела с распределенной массой m), центр масс которого находится на расстоянии от оси колебаний О (рис.73) и он по теореме Штейнера имеет момент инерции относительно этой оси: , . Период колебаний физического маятника можно представить в виде , где величина называется приведенной длиной физического маятника, который колеблется с тем же периодом, что и математический маятник на нити длиной .
Если определить экспериментально, то можно найти момент инерции тела со сложной конфигурацией, рассчитать который теоретически довольно сложно. Для этого надо найти новую ось качания маятника , относительно которой он колеблется с тем же периодом , что и относительно начальной оси колебаний O. Расстояние и будет приведенной длиной физического маятника (рис.73). Приведенную длину маятника можно найти также по определенному экспериментально периоду собственных колебаний маятника , тогда .
Положение ЦМ тела определяется путем нахождения точки равновесия тела либо путем подвешивания тела в двух точках. Если провести из точек подвеса тела две прямые в направлении его силы тяжести, то пересечение этих прямых даст положение ЦМ тела.
|
Пример 1. Найти период колебаний стержня длиной l и массой m с насаженным на него диском радиусом R и массой M, находящимся на расстоянии длины стержня от его конца, если стержень подвешен на расстоянии его длины от его второго конца. Ось колебаний перпендикулярна плоскости диска.
Дано: l, m, R, M. Найти:
Решение: Решение задачи построим в виде последовательного алгоритма. Центры масс стержня и диска находятся на расстоянии и от точки подвеса О. Положение общего центра масс системы относительно точки О . Собственные моменты инерции тел и . Моменты инерции тел относительно точки О по теореме Штейнера и . Полный момент инерции системы относительно точки О . Период колебаний физического маятника .
Ответ: .
Пример 2. На каком расстоянии от ЦМ надо подвесить физический маятник, собственный момент инерции которого рассчитывается по формуле , чтобы его период колебаний был минимальным? Рассмотреть случаи стержня длиной l, равностороннего треугольника с длиной стороны b и круглых тел радиуса R – диска (сплошного цилиндра), кольца (полого цилиндра), шара и сферы.
Дано: длина стороны треугольника, для круглых тел , . Найти:
Решение: Период колебаний физического маятника
Период колебаний маятника минимален , если подкоренная функция или . Откуда . Подставляя получим . Минимальный период колебаний маятника .
Ответ: , .
Пример 3. Найти период колебаний круглых тел (обруча или полого цилиндра, диска или сплошного цилиндра, шара) относительно оси колебаний проходящей вдоль их образующей (вдоль края кольца и диска перпендикулярно их плоскости). Во сколько раз отличается этот период от минимального периода колебаний маятника?
Дано: ,
. Найти:
Решение: Момент инерции круглых тел относительно оси, проходящей вдоль их образующей, равен . Период колебания маятника относительно этой оси . С учетом примера 2 отношение периодов колебаний
Ответ: ,
Пример 4. В опыте найдено положение двух осей О и физического маятника массой m, находящихся по разные стороны от его ЦМ, на расстояниях и от него, относительно которых он колеблется с одинаковым периодом. Найдите приведенную длину, период собственных колебаний и собственный момент инерции маятника, и его моменты инерции относительно осей О и .
|
Дано: . Найти:
Решение: Согласно формуле для периода колебаний физического маятника и определению его приведенной длины . Отсюда следует, что расстояния и от ЦМ маятника до осей колебания и качания маятника O и являются корнями квадратного уравнения . Согласно теореме Виета корни это уравнения удовлетворяют соотношениям и . Откуда . Моменты инерции маятника относительно осей O и равны и .
Ответ: .
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!