Гидростатика и гидродинамика

Архимедова или выталкивающая сила (см. раздел силы в механике).

Сила вязкого трения и силы сопротивления движению тела (Стокса и Ньютона) в жидкости и газе (см. раздел силы в механике)

Закон Паскаля и гидростатическое давление: Силы, действующие на поверхность неподвижной жидкости или газа создают давление, одинаковое во всех точках жидкости или газа. Такими силами являются сила атмосферного давления и сила, действующая на жидкость со стороны соприкасающихся с ней тел, например, поршня.

Давление, создаваемое жидкостью плотностью ρ на глубине h с учетом закона Паскаля равно , где – атмосферное давление у поверхности жидкости. Разность давлений называется гидростатическим давлением.

В ускоренно движущейся с ускорением a вверх или вниз системе отсчета жидкость оказывается в новом гравитационном поле с ускорением свободного падения и гидростатическое давление становится равным . В состоянии невесомости при свободном падении и , и гидростатическое давление становится равным нулю.

Другая формулировка закона Паскаля утверждает: на одном и том же уровне давление на маленькую площадку, помещенную в жидкость, не зависит от ее ориентации. Отсюда следует, что на данной глубине давление жидкости на боковую поверхность сосуда равно гидростатическому.

Линии и трубки тока. Основными понятиями гидродинамики являются понятия линий тока и токовой трубки. Линии тока – это такие линии, касательные к которым совпадают с направлением скорости жидкости в данной точке линии (рис.46а). Поверхность, образованную токовыми линиями, называют токовой трубкой (рис.46б).

Рис.46а

Рис.46б

Ламинарное и турбулентное движение жидкости. Движение жидкости, при котором отдельные ее слои скользят относительно друг друга, называется ламинарным (слоистым), а движение жидкости, сопровождающееся перемешиванием ее различных слоев вследствие образующихся завихрений – турбулентным (вихревым).

Соотношение непрерывности. Если жидкость является несжимаемой (ее плотность ), то за одинаковый малый промежуток времени через любое сечение S токовой трубки переносится одинаковая массаm жидкости плотностью ρ, движущейся со скоростью v: , откуда . Это соотношение называют соотношением непрерывности. Из него следует, что , то есть скорости жидкости в двух любых сечениях токовой трубки обратно пропорциональны площадям ее сечений.

Уравнение Бернулли. Согласно уравнению Бернулли в любой точке линий тока сохраняется величина , где p – давление жидкости плотностью ρ, движущейся со скоростью vна высоте h токовой трубки (рис 47). Величину называют динамическим напором.

Рис. 47

Полный напор жидкости, трубка Пито. Величина , входящая в уравнение Бернулли, называется полным напором. Для его измерения используют трубку Пито (1732), представляющую собой изогнутую под прямым углом трубку. Ее помещают в жидкость открытым концом навстречу потоку (рис.48). Высота столба жидкости, устанавливающаяся в трубке, определяет максимальное давление в жидкости, равное полному напору.

Рис.48

Вытекание жидкости из малого отверстия широкого сосуда. Формула Торричелли. Вытекание жидкости из сосуда описывается уравнением Бернулли. Считая, что скорость перемещения свободной поверхности жидкости, находящейся на высоте h от отверстия, равна нулю, а давления на свободной поверхности жидкости и на выходе отверстия равными и получим для двух сечений токовой трубки: . Откуда скорость вытекания жидкости из малого отверстия . При придем к формуле Торричелли .

При вытекании жидкости из сосуда через отверстие площадью S на него действует сила , называемая реакцией вытекающей струи. Через отверстие в единицу времени вытекает масса жидкости .

Течение жидкости или газа по прямолинейной трубе. Формула Пуазейля. При ламинарном течении жидкости по прямолинейной трубе радиуса R скорость течения слоев жидкости на расстоянии r от оси трубы изменяется по параболическому закону , где – скорость жидкости на оси трубы, равная . Здесь – разность давлений на концах трубы длиной l, η – динамическая вязкость жидкости.

Поток жидкости Q (ее объем, протекающий через поперечное сечение трубы за единицу времени) определяется формулой Пуазейля (1840) . За время τ через трубку радиуса R протекает объем жидкости . Масса жидкости, протекающая через поперечное сечение трубы за единицу времени . Формулу Пуазейля используют для определения динамической вязкости η жидкости или газа.

.

Часть примеров данного раздела приведена в разделе 8 – силы в механике.

Пример 1. В вертикальный цилиндрический сосуд с радиусом основания налита вода плотностью , высота столба которой равна . Атмосферное давление . Найти силу давления воды на боковую поверхность сосуда.

Дано: . Найти:

Решение: Давление жидкости является линейной функцией ее высоты , поэтому среднее давление ее на боковую поверхность сосуда можно вычислить по формуле . Тогда сила давления воды на боковую поверхность цилиндра площадью будет равна .

Ответ: .

Пример 2. Из резервуара с водой, находящегося на высоте h, выходит вертикально вниз труба постоянного сечения S, переходящая в короткую трубку с краном сечением . Атмосферное давление , плотность воды ρ. Найти давление p в магистральной трубе при открытом кране.

Дано: . Найти:

Решение: Обозначим скорости воды в магистральной трубе и кранеv и . Пренебрегая изменением уровня воды в резервуаре, напишем уравнение Бернулли для трех точек: на поверхности воды в резервуаре, в трубе и в отверстии крана,

Добавим к этой системе уравнение непрерывности , откуда . Тогда

Ответ: .