Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2018-01-07 | 259 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
До сих пор мы рассматривали функции одной переменной, то есть функции, значения которых зависят от значений одной независимой переменной. При рассмотрении многих вопросов естествознания приходится иметь дело с такими зависимостями между переменными величинами, в которых числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других. Так, например, площадь прямоугольника со сторонами, длины которых равны x и y, определяется значениями двух переменных x и у, а объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны x, у, z – значениями трех переменных x, y и z. Примеров таких зависимостей можно привести сколько угодно.
Эта часть курса посвящается рассмотрению такого рода зависимостей. С этой целью вводится понятие функции нескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций. Здесь мы подробно остановимся на функции двух переменных, при этом стоит заметить, что обобщение определений и результатов на функции трех и более переменных не содержит принципиальных отличий.
Определение 1. Пусть X, Y и Z – некоторые числовые множества. Функцией двух переменных называется множество f упорядоченных троек чисел (x; у; z) таких, что xX, уУ, zZ и каждая Упорядоченная пара чисел (x; у) входит в одну и только одну тройку этого множества, а каждое z входит, по крайней мере, в одну тройку. При этом говорят, что упорядоченной паре чисел (x; у) поставлено в соответствие число z, и пишут z=f (x; у). Число z н азы вается значением функции f в точке (x; у). Переменную z называют, зависимой переменной, а переменные x и у – независимыми переменными (или аргументами); множество {(x; у)} – областью определения функции, а множество z – множеством значений функции.
|
Функцию двух переменных обозначают следующими символами z=z(x; у), z=f (x; у) и так далее.
Способы задания функции двух переменных, как и в случае одной переменной, могут быть различными. В примерах мы используем, как правило, аналитический способ задания, когда функция задается с помощью формулы. Областью определения функции, в этом случае считается множество всех точек плоскости, для которых эта формула имеет смысл.
Рассмотрим понятие предела функции двух переменных, с этой целью введем понятия δ-окрестности данной точки M 0(х 0; y 0) и сходящейся последовательности точек плоскости.
Определение 2. Множество {М(x; у)} всех точек, координаты x и у которых удовлетворяют неравенству (x – x 0)2 + (y – y 0)2< δ2, или, короче, ρ(М; М 0)<δ, называется δ – окрестностью М 0 (x 0; y 0).
Рассмотрим последовательность точек М 1 (x 1; y 1), М 2 (x 2; y 2), …, Мn (xn; yn), … Будем кратко обозначать эту последовательность символом { Мn }.
Определение 3. Последовательность точек { Мn } называется сходящейся к точке М 0, если для любого ε>0 существует номер N 0 такой, что при п>N 0 выполняется неравенство ρ(М; М 0)<δ. При этом точка М0 называется пределом последовательности { Мn } и обозначается или при .
Определение 4. Число A называется пределом функции z=f(M) точке М 0, если для любой сходящейся к М 0 последовательности точек Мn последовательность значений функции f (М 1), f (М 2), …, f (Мn), … сходится к A.
Стоит отметить, что и как в случае функции одной переменной, для предела функции многих переменных многие свойства сохраняются.
Теорема 1. Пусть функции f (М) и g (М) определены на одном и том же множестве { M } и имеют в точке М 0 пределы B и C. Тогда функции и (С≠ 0) имеют в точке М 0 пределы, равные соответственно и
Понятие непрерывности функции многих переменных вводится на основе понятия предела. Пусть на некотором множестве { М }определена функция f (М), точка М 0ó{ М } и любая δ-окрестность точки М 0содержит точки множества { М }.
|
Определение 5. Функция z=f (М) называется непрерывной в точке М 0, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. Е.
или
Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!