Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы №1

"Линейная алгебра, Аналитическая геометрия."

 

Матрицы и операции над ними.

Определение. Матрицей называется множество чисел, которое составляет прямоугольную таблицу, состоящее из m строк и n столбцов

коротко матрицу обозначают так:

где элементы данной матрицы, I – номер строки, j – номер столбца.

Если в матрице число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной n -го порядка, а в противном случае – прямоугольной.

Если m= 1 и n > 1, то получаем однострочную матрицу

которая называется вектор-строкой, если, же m >1 и n =1, то получаем одностолбцовую матрицу

,

которая называется вектор-столбцом.

Две матрицы и равны, если равны между собой элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть если

при всех i и j (при этом число строк (столбцов) матриц A и B должно быть одинаковым).

1°. Суммой двух матриц A =(a_ij) и B =(b_ij) с одинаковым количеством m строк и n столбцов называется матрица C =(c_ij), элементы которой определяются равенством

Сумму матриц обозначают C = A + B.

Пример.

.

2⁰. Произведением матрицы A =(a_ij) на число λ называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число λ:

λA = λ (a_ij)=(λa_ij), (i =1,2…,m; j =1,2…,n).

Пример.

3⁰. Произведением матрицы A =(a_ij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу B =(b_ij), имеющей k строк и n столбцов, называется матрица C =(c_ij), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент c_ij равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы A и j -го столбца матрицы B, то есть

При этом число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицы B. В противном случае произведение не определено. Произведение матриц обозначается A*B = C.

Пример.

Для произведения матриц не выполняется равенство между матрицами A*B и B* A, в общем случае одна из них может быть не определена.

Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.

Пример. Пусть , , тогда согласно правилу умножения матриц имеем

=

и

,

откуда заключаем, что

и

Определители и их свойства.

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

(1)

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (1), называется число, обозначаемое символом

и определяемое равенством

.(2)

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (2) берутся со знаком «+», а какие со знаком «-«, полезно использовать следующее правило треугольников.

 

+ -

 

Пример.

Сформулируем основные свойства для определителей третьего порядка, хотя они присущи определителям любого порядка.

1°. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами, т. Е.

=

2°. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

== −

3°. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

4°. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число λ равносильно умножению определителя на это число λ.

= λ

5°. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6°. Если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7°. Если каждый элемент n -го столбца (n -ой строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n -ом столбце (n -ой строке) содержит первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

Например,

= +

8⁰. Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель l, то величена определителя не изменится.

Например,

Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Например, минором элемента а ₁ определителя Δ является определитель 2-го порядка

.

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1) ^p, где р - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Если, например, элемент а ₂ находятся на пересечении 1-го столбца и 2-ой строки, то для него р =1+2=3 и алгебраическим дополнением является

9⁰. Определитель равен сумме произведений элементов какого–либо столбца или строки на их алгебраические дополнения.

10⁰. Сумма произведений элементов какого–либо столбца или какой–либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца или другой строки равны нулю.

Как было сказано выше, вернемся к понятию обратной матрицы. Обратная матрица существует не у всякой квадратной матрицы, а лишь у так называемых невырожденных матриц, то есть таких определитель которых отличен от нуля. Для невырожденной квадратной матрицы

третьего порядка обратная матрица А ^-1 может быть вычислена по следующей формуле

здесь Δ – определитель матрицы А, A_ij – алгебраические дополнения элементов a_ij матрицы А.