Определение реакций опор составных

Конструкций

 

Статический расчет инженерных сооружений во многих случаях сводится к рассмотрению условий равновесия конструкций, состоящих из системы тел, соединенных шарнирами. Связи, соединяющие части конструкций между собой, называются внутренними, в отличие от внешних связей, скрепляющих конструкцию с телами, в нее входящими. Рассмотрим составную конструкцию типа арки (рис. 5.15, а). Конструкция является статически определимой системой.

При действии внешней нагрузки на конструкцию в каждой опоре возникает по две реакции, всего четыре неизвестные реакции. Вертикальные реакции обозначим через и , горизонтальные - через и (рис. 5.15, б).

Рис. 5.15

 

Кроме трех уравнений равновесия для системы сил, расположенных в одной плоскости, для расчета конструкции можно составить четвертое уравнение, основанное на том, что линия действия равнодействующей всех сил, приложенных к левой (а также и к правой) половине, должна пройти через врезанный шарнир С, так как в противном случае равнодействующая создала бы не нулевой момент относительно шарнира С и левая (или правая) половина арки враща­лась бы вокруг оси С.

Так как по теореме Вариньона момент равнодействующей равен алгебраической сумме моментов составляющих ее сил, то четвертое дополнительное уравнение можно сформулировать следующим об­разом.

Алгебраическая сумма моментов сил, действующих на левую или правую половину составной конструкции относительно точки С (внутреннего шарнира), равняется нулю, т.е.

.

Задача 3. Однородные брусья АС и BD весом соответственно Р ₁ и Р ₂ расположены в вертикальной плоскости (рис. 3.1, а). Брусья свободно опираются друг на друга в точке С, а в точках А и В имеют неподвижные шарнирные опоры; в точке К брус BD закреплен невесомым стержнем.

Дано: Р ₁= 10 Н, Р ₂ = 20 Н, М ₁ = 20 Нм, F = 50 Н, l = 1 м, М ₂ = 30 Нм.

Определить реакции связей в точках А, В, С и К.

 

Рис. 3.1

 

Решение. Расчленим систему на две части и рассмотрим сначала равновесие бруса АС (рис. 3.1, б). Проведем координатные оси и изобразим действующие на брус АС силы: силу тяжести Р, пару сил с моментом М, реакции связей X_A, Y_A, R_e (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция R_e направлена перпендикулярно брусу BD).

Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия:

, (3.1)

, (3.2)

. (3.3)

 

Теперь рассмотрим равновесие бруса BD (рис. 3.1, в). На него дей­ствуют сила тяжести Р ₂, сила F, реакции внешних связей Х_В, Y_B, R_K и давление R’_С со стороны бруса АС, которое на основании равенства действия и противодействия направлено противоположно силе R_C.

Для полученной плоской системы сил тоже составим три уравнения равновесия:

 

(3.4)

(3.5)

(3.6)

 

Решив систему уравнений (3.1) — (3.6) и учитывая при этом, что численно R '_C = R_C, найдем искомые реакции.

Ответ: Х_A =1,44 Н, Y_A =9,17 Н, Х_B = –26,06 Н, Y_B = –22,47 Н, R_C = 1,66 H, R_K = –52,5 Н.

Из полученных результатов видно, что силы Х_В, Y_B и R_K направлены противоположно показанным на рис. 3.1, в.

Задача 4. На угольник ABC ( ABC = 90°), конец А которого жестко заделан, в точке С опирается стержень DE (рис. 3.2, а). Стержень имеет в точке D неподвижную шарнирную опору и к нему приложена пара с моментом М ₂, а к угольнику — равномерно распределенная на участке KB нагрузка интенсивности q и пара с моментом М ₁. Дано: M ₁ = 10 кНм, q = 4 кН/м, а = 1 м, М ₂ = 40 кНм. Определить реакции в точках А, С, D, вызванные заданными на­грузками.

 

Рис. 3.2

 

Решение. Для определения реакций расчленим систему и рас­смотрим сначала равновесие стержня DE (рис. 3.2, б). Проведем ко­ординатные оси и изобразим действующие на стержень силы и моменты: момент М ₂, реакцию R^, направленную перпендикулярно стержню, и составляющие X_D и Y_D реакции шарнира D. Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

(3.7)

(3.8)

(3.9)

 

Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. 3.2, в). На него действуют сила давления стержня R_С, направленная противоположно реакции R’_C, равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой Q, приложенной в середине участка KB (численно Q = q ∙4 a = 16 кН), пара сил с моментом M ₁ и реакция жесткой заделки, слагающаяся из силы, которую представим составляющими Х_А, YA, и пары с моментом М_А. Для этой плоской системы сил тоже состав­ляем три уравнения равновесия:

 

(3.10)

(3.11)

(3.12)

 

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив систему уравнений (3.7) — (3.12), найдем искомые реакции. При решении учитываем, что численно R’_C = R_C в силу равенства действия и противодействия.

Ответ: R_C = 20 кН, Y_D = –10 кН, X_D = 17,34 кН, Х_А = –25,34 кН, Y_A = 23,87 кН, М_А = –186,4 кНм.

Знаки указывают, что силы Y_D, X_A и момент М_А направлены противоположно показанным на рисунках.

Задача 5. Дана плоская составная конструкция с приложенными к ней нагрузками (рис. 3.3) Определить реакции шарниров А, В и С, если Р = 10 кН, q = 5 кН/м, М = 6 кНм, а = 1,2 м, b = 1 м, r = = 0,15 м. Нить невесомая, трением в подшипнике блока D пренебречь.

 

Рис. 3.3

Расчленим конструкцию на две части, освободив ее от шарниров А и В (внешние связи), шарнира С и горизонтальной нити (внутренние связи). Расчетные схемы изображены на рис. 3.4, а,б.

 

Рис. 3.4

 

На расчетных схемах обозначено:

X_A, Y_A - составляющие реакции шарнира А;

Х_В, Y_B - составляющие реакции шарнира В;

Х_С, Y_С - составляющие реакции шарнира С на балку ВС;

Х'_C = – Х_C, Y’_C = – Y_C - составляющие реакции шарнира С на балку АС;

Р’ - реакция нити на блок D;

Р "- реакция нити на балку ВС;

Q - равнодействующая распределенной нагрузки.

Так как нить невесомая, а трением на блоке D пренебрегаем, то Р ' = Р " = Р. Модуль равнодействующей распределенной нагрузки определяем по формуле

,

где

Составим уравнения равновесия балки ВС (рис. 3.4, а):

 

(3.13)

(3.14)

(3.15)

 

Система уравнений (1) — (3) содержит 4 неизвестных. Ее нужно дополнить системой уравнений равновесия для расчетной схемы, изображенной на рис. 3.4, б:

(3.16)

(3.17)

(3.18)

 

Решая систему уравнений (3.13)—(3.18), находим неизвестные.

Из уравнения (3.18) получаем

 

из уравнения (3.17)

 

из уравнения (3.14)

 

из уравнения (3.15)

из уравнения (3.13)

из уравнения (3.16)

 

Ответ: Х_А = 22,32 кН, Х_В =–1.5,68 кН, Х_С = 12,32 кН; Y_A = –5 кН, Y_B = 15 кН, Y_С = –15 кН.

Замечание. Для определения искомых величин в данном приме­ре можно было избрать другой путь решения: рассмотреть равнове­сие всей конструкции в целом как абсолютно твердого тела, освобо­див ее от связей в точках А и В (рис. 3.5) совместно с одной из час­тей (рис. 3.4, а или рис. 3.4, б).

Рис. 3.5

 

Задача 6. Определить момент в заделке А и реакцию опоры В в составной конструкции, изображенной на рис. 3.6, если q_max = 5 кН/м, Р = 10 кН, М = 7 кНм, а = 4 м, b = 1,5 м, α = 60°.

 

Рис. 3.6

 

Решение. Рассмотрим равновесие всей конструкции как абсолютно твердого тела, освободив ее от связей в точках А и В (рис. 3.7).

Рис. 3.7

На рис. 3.7 обозначено:

X_A,Y_A - составляющие реакции заделки;

М_А - реактивный момент в заделке;

Х_В, Y_B - составляющие реакции шарнира В;

Q - равнодействующая распределенной нагрузки, модуль которой

Q = 0,5 q_maх ∙ a = 0,5∙5∙4 = 10 кН;

Поскольку неизвестные Х_А и Y_A определять не нужно, то из всех уравнений равновесия, которые можно составить для всей конструкции, следует взять только уравнение моментов относительно точки А, как не содержащее этих неизвестных:

 

(3.19)

Рассмотрим далее равновесие балки ВС.

Расчетная схема изображена на рис. 3.8.

 

Рис. 3.8

 

Реакцию стержня R_C определять не нужно. Поэтому для балки ВС составляем такие уравнения, в которые эта сила не входит:

 

(3.20)

(3.21)

 

Система уравнений (3.19)—(3.21) содержит только те неизвестные, которые нужно определить.

Из уравнения (3.21) получаем

кН,

 

из уравнения (3.20)

кН,

из уравнения (3.19)

.

После вычислений

М _А = – 19,67 кНм.

 

Ответ: М_А = –19,67 кНм, Х_B = –8,67 кН, Y_B = 5 кН.

 

 

Лекция 6

Трение

 

Трение покоя (сцепления)

 

Исследованием явления трения впервые занимался Леонардо да Винчи. В конце XVII в. французский физик Амонтон (1663-1705) уста­новил независимость силы трения от величины поверхности соприка­сания тел. Законы трения были сформулированы французским физиком Кулоном (1736-1806).

Если к твердому телу, покоящемуся на шероховатой горизонтальной плоскости (рис. 6.1), приложить горизонтальную силу , то действие этой

Рис. 6.1 Рис. 6.2

 

силы вызовет появление силы сцепления , представляющей со­бой силу противодействия плоскости смещению тела. Благодаря сцепле­нию тело остается в покое при изменении модуля силы от нуля до некоторого значения . Это значит, что модуль силы сцепления тоже изменяется от до в момент начала движения.

Модуль максимальной силы сцепления, как показывает опыт, про­порционален нормальному давлению N тела на плоскость. В рассматри­ваемом случае N = G. Тогда

 

.

 

Коэффициент пропорциональности является отвлеченным числом и называется коэффициентом сцепления.

 

Коэффициент сцепления зависит от материала и физического состоя­ния соприкасающихся тел и определяется экспериментально. Его величина для материалов, используемых в технике, обычно меньше единицы. Так как максимальное значение силы сцепления равно , то модуль силы сцепления всегда удовлетворяет условию

 

.

 

Направление силы сцепления противоположно направлению того движения, которое возникло бы под действием приложенных к телу сил при отсутствии сцепления.

При скольжении тела по шероховатой поверхности к нему прила­жена сила трения скольжения. Направление этой силы, противодей­ствующей скольжению, противоположно направлению скорости тела (рис. 6.2).

Модуль силы трения скольжения пропорционален нормальному давлению N:

.

 

Коэффициент пропорциональности f называется коэффициентом трения скольжения и определяется опытным путем.

Коэффициент трения скольжения является отвлеченной величиной и зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей, а также от скорости движения тела и удельного давления.

Однако в элементарных расчетах зависимость коэффициента трения скольжения от скорости и удельного давления часто не учитывается.