Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2018-01-03 | 433 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Принцип решения рассмотрим на примере решения уравнения второго порядка. Пусть требуется решить задачу Коши:
.
Пусть , а f(t) F(p), тогда ,
Применим к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа, уравнение примет вид:
или .
Это уравнение является алгебраическим, линейным относительно . Решив его, получим .
Теперь по найденному изображению можно восстановить соответствующий ему оригинал x(t),т.е. найти решение данного дифференциального уравнения. Легко заметить, что в знаменателях обеих дробей стоит характеристический многочлен исходного уравнения, и что простой вид приобретает, если начальные условия задачи Коши нулевые.
Пример 1. Решить задачу Коши .
Решение.
Обозначим через изображение искомого решения, тогда , а , а изображение данного уравнения имеет вид , откуда .
Оригинал данного изображения x(t)=2t2-1,и это и есть решение данного уравнения.
Пример 2. Решить задачу Коши.
Решение.
Пусть - изображение искомого решения x(t), тогда , , а .
Таким образом, изображение исходного уравнения имеет вид , отсюда .
Используя таблицу основных изображений и таблицу сверток, получаем, что
Пример 4. Решить задачу Коши.
Решение.
Таким образом, изображение исходного уравнения имеет вид: , следовательно , отсюда ;
;
, т.о. по таблице изображений и теореме запаздывания получаем, что
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте алгоритм решения дифференциального уравнения
Примеры для самостоятельного решения. Решить задачу Коши.
Ответы
Применение операционного исчисления к решению систем линейных дифференциaльных уравнений.
|
Системы линейных дифференциальных уравнений решаются аналогично тому, как решаются дифференциальные уравнения.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Найти решение системы.
.
Пусть , а , , изображение системы имеет вид:
или
Найдём решение этой линейной системы по формулам Крамера:
, отсюда
, отсюда
Примеры для самостоятельного решения.
Операторным методом решить систему дифференциальных уравнений.
1) ; 2) ;
3)
4)
Ответы:
1) ; 2)
3) ; 4)
Таблица оригиналов и изображений.
N | N | ||||
, -целое, пол. | |||||
N | N | ||||
N | N | ||||
Таблица сверток оригиналов.
Образец решения контрольной работы.
Задача1. По данному графику оригинала найти изображение:
Решение.
Запишем оригинал:
Преобразуем оригинал к виду, удобному для получения изображения:
Воспользуемся теоремами линейности и теоремой запаздывания, тогда .
Ответ.
Задача 2. Найти оригинал по заданному изображению:
Решение.
Найдем сначала оригинал для дроби .
Разложим эту дробь на простейшие и найдем коэффициенты методом неопределенных коэффициентов
При получим
При получим .
Приравниваем коэффициенты при равных степенях:
: 0=A+B+C
: 0=A+D+C
оригинал этого изображения имеет вид:
.
|
Задача3. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Решить задачу Коши.
Решение.
Пусть – изображение решения x(t) данного уравнения, тогда , .
Изображение правой части: . Составляем операторное уравнение: , отсюда .
;
;
;
;
.
Используя таблицу основных изображений, получаем, что
Задача 4. Найти решение системы ,если .
Решение.
Пусть , , , тогда
изображение системы имеет вид
или
По формулам Крамера: ,
Задания контрольной работы
Задача1. По данному графику оригинала найти изображение:
Варианты 1-10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Задача 2. Найти оригинал по заданному изображению:
Варианты1-10
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Задача 3. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Варианты1-10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Задача 4. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям.
Варианты1-10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Список учебной литературы
1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов: В 2т. Т.2/ Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1985.
2. Бубер, В.Б. Операционное исчисление. Опорный конспект лекций по высшей математике/ В.Б. Бубер, З.Д. Ломакина. – Мурманск, 1990.
3. Конторович, М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях/ М.И. Конторович. - М.: Сов.Радио, 1975.
4. Шелковников, Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению/ Ф.А. Шелковников, К.Г. Такайшвили. – М.: Высшая школа, 1976.
5. Данко, П.Б. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х ч. Ч.2/ П.Б. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1999.
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!