Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции .

1. Найти О.О.Ф.

2. Найти в О.О.Ф.

3. Найти критические точки в О.О.Ф.:

4. а).в которых выполняется равенство ;

5. б) в которых не существует.

6. Изобразить на числовой оси О.О.Ф. и все ее критические точки.

7. Определить интервалы знакопостоянства производной в каждом из промежутков на которые критические точки разбивают О.О.Ф.

8. На основании достаточных условий экстремума сделать заключение о экстремуме функции в каждой из указанных в п.3 критических точках.

9. Найти значения функции в критических точках внутри промежутка и на концах промежутка (если это числа).

10. Из всех найденных значений в п.7 выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Пример 21. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 2].

Решение. О.О.Ф.: х Î R;

х ₁ = -1, х ₂ = 3 – критические точки; x ₁ = -1 Î [-2; 2], x ₂ = 3 Ï [-2; 2].

х ₁ = -1 – единственная критическая точка на [-2; 2].

у (-1)=(-1)³-3(-1)²-9(-1)+2=-1-3+9+2=7 (наибольшее);

у (2)= (2)³-3(2)²-9×(2)+2=8-12-18+2=-20 (наименьшее);

у (-2)= (-2)³-3×(-2)²-9×(-2)+2=-8-12+18+2=0. Ответ:

Пример 22. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке [1; 3).

Решение. О.О.Ф.: x Î R;

х ₁ = 0, х ₂ =-1 – критические точки.

на [1; 3).

На промежутке [1; 3) данная функция убывает:

у (1) = -2×(1)³ -×3(1)² + 4 = -2-3+4 = -1.

Наибольшее значение функция достигает на левом конце промежутка:

.

Наименьшее значение в промежутке [1; 3) функция не достигает, так как точка х =3 не принадлежит этому промежутку.

Ответ:

Пример 23. Требуется огородить проволочной сеткой длины 32 м прямоугольный участок, прилегающий к стене. Найти размеры участка, при которых его площадь будет наибольшей.

Решение. Обозначим стороны прямоугольника через АВ = СD = x, BC = AD = y. Тогда его площадь S = xy.

Так как 2 х + у = 32, получим Тогда . Найдем О.О.Ф. площади:

.

Найдем наибольшее значение функции S на интервале (0; 16).

х = 8 – единственная критическая точка.

х = 8 – единственная точка максимума, значит

.

Размеры участка: ширина – х = 8; длина – у = 32-16=16.

Ответ: 8 м и 16 м.

Задачи раздела I.

1. Найти производную функции в точке x₀:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

2. Найти производную функции, предварительно приведя ее к виду kx^m(mÎZ).

1) 3)

2) 4)

3. Приведя функцию к к виду kx^a(aÎQ) найти ее производную.

1)

2)

3)

4)

5)

4. Используя формулу производной от суммы найти производную функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

5. Используя формулы производной произведения или частного, найти производную функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

6. Используя правило дифференцирования сложной функции, найти производную функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

7. Найти критические точки функции:

 

1)

2)

3)

4)

5)

6)

8. Найти промежутки возрастания и убывания функции:

1)

2)

3)

4)

5)

9. Найти точки экстремума и экстремумы функции.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.

1) на [-3; 2]

2) на [-2; 3)

3) на (-1; 2]

4) на [-2; 1]

5) на [-1; 0]

6) на [0; 3]

11. Периметр прямоугольника равен 40. Найти его стороны, при которых его площадь будет наибольшей.

Задачи раздела II.

1. Найти производную функции в точке x₀:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

2. Найти производную функции, предварительно приведя ее к виду kx^m(mÎZ).

1)

2)

 

3)

4)

3. Приведя функцию к к виду kx^a(aÎQ) найти ее производную.

1)

2)

3)

4)

5)

4. Используя формулу производной от суммы найти производную функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

5. Используя формулы производной произведения или частного, найти производную функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

6. Используя правило дифференцирования сложной функции, найти производную функции:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

 

7. Найти критические точки функции:

 

1)

2)

3)

 

4)

5)

6)

8. Найти промежутки возрастания и убывания функции:

1)

2)

3)

4)

5)

9. Найти точки экстремума и экстремумы функции.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.

1) на [-3; 2]

2) на [-2; 3)

3) на (-1; 2]

4) на [-2; 1]

5) на [-1; 0]

6) на [0; 3]

 

Решение задач раздела I.

1.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

 

2.

10)

11)

12)

13)

 

3.

1)

2)

3)

4)

5)

4.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

5.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

6.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

7.

1) О.О.Ф. xÎR; для всех x Î R. Ответ: критических точек нет.

2) О.О.Ф. xÎR; Î О.О.Ф.

Ответ: .

3) О.О.Ф. xÎR; D = 16 + 84 = 100>0; Î О.О.Ф., Î О.О.Ф. Ответ: ,

4) О.О.Ф. xÎR;
D = 1+8=9>0; Î О.О.Ф., Î О.О.Ф. Ответ: ,

5) О.О.Ф. x¹ 0;

При х = 0 не существует. х = 0 Ï О.О.Ф. Ответ: критических точек нет.

6) О.О.Ф. 2 х - х² ³ 0; х (2- х)³0 Þ 0£ х £ 2.

При х = 1 =0. При х = 0 и х = 2 не существует.

х ₁ = 1 Î О.О.Ф., х ₂ = 0 Î О.О.Ф., х ₃ = 2 Î О.О.Ф. Ответ: х ₁ = 1, х ₂ = 0, х ₃ = 2.

8.

1) О.О.Ф.: х Î R; для всех х Î R.

Ответ: возрастает для всех х Î R.

2) О.О.Ф.: х Î R; ÎО.О.Ф.

Ответ: убывает на (-¥; 2)

возрастает на (2; +¥)

3) О.О.Ф.: х Î R; D= 16+84=100>0; х ₁ = -7/3 Î О.О.Ф., х ₂ = 1 Î О.О.Ф.

Ответ: возрастает на (-¥; -7/3), (1; +¥)

убывает на (-7/3; 1)

4) О.О.Ф.: х ¹ 1;

При х = 1 не существует х = 1 ÎО.О.Ф.

Ответ: убывает на (-¥; 1), (1; +¥)

5) О.О.Ф.: 0£ х £6.

При х = 3ÎО.О.Ф. =0. При х = 0ÎО.О.Ф., х = 6ÎО.О.Ф. не существует.

Ответ: возрастает на (0; 3),

убывает на (3; 6).

9.

1) О.О.Ф.: х Î R;

ÎО.О.Ф.

х_min = 2; у_min = y(x_min) = у (2) = 2²-4×2+3=4-8+3=-1.

Ответ: х_min = 2;

у_min = -1.

2) О.О.Ф.: х Î R;

ÎО.О.Ф.

х_max = 3; у_max = y(x_max) = у (3) = 7+6×3-3²=7+18-9=16

Ответ: х_max = 3;

у_max = 16

3) О.О.Ф.: х Î R;

ÎО.О.Ф.

х_max = -2; у_max = y(x_max) = у (-2) = (-2)³-12×(-2)=-8+24=6

х_min = 2; у_min = y(x_min) = у (2) = 2³-12×(2)=8-24=-6.

Ответ: х_max = -2; у_max =6

х_min = 2; у_min =-6.

4) О.О.Ф.: х Î R;

ÎО.О.Ф

х_min = 1; у_min = y(x_min) = у (1) = 3×1⁴-4×1³=3-4=-1.

Ответ: х_min = 1; у_min =-1.

5) О.О.Ф.: х Î R;

х ₁ =-3ÎО.О.Ф., х ₂ =1ÎО.О.Ф

х_min = -3; у_min = y(x_min) = у (-3) = -(-3)³-3(-3)²+9(-3)-1=27-27-27-1=-28;

х_max = 1; у_max = y(x_max) = у (1) = -(1)³-3(1)²+9(1)-1=-1-3+9-1=4.

Ответ: х_min = -3; у_min =-28;

х_max = 1; у_max = 4.

6) О.О.Ф.: х ²-2 х ³0, х (х -2)³0 Þ х Î (-¥; 0] È [2; +¥).

х = 1 Ï О.О.Ф.

Ответ: экстремумов нет.

10.

1) О.О.Ф.: х Î R; критических точек нет.

– наибольшее значение

– наименьшее значение.

Ответ:

2) О.О.Ф.: х Î R; критических точек нет.

для всех х Î R Þ f(x) возрастает на [-2; 3).

– наименьшее значение.

Наибольшее значение данная функция не достигает.

Ответ:

3) О.О.Ф.: х Î R; критических точек нет.

для всех х Î R Þ f(x) убывает на [-1; 2).

– наименьшее значение.

Наибольшее значение данная функция не достигает.

Ответ:

4) О.О.Ф.: х Î R;

Î О.О.Ф.

х_тах = 0 – единственная точка экстремума.

– наименьшее значение;

Ответ:

5) О.О.Ф.: х Î R;

Ï [-1; 0].

f (-1)=4×(-1)+(-1)²=-4+1=-3 – наименьшее значение;

f (0)=4×(0)+(0)²=0 – наибольшее значение.

Ответ:

6) О.О.Ф.: х Î R;

х = 1 Î [0; 3]; x = -1 Ï [0; 3].

f (1)=1-3=-2 – наименьшее значение;

f (0)=0;

f (3)=27-9=18 – наибольшее значение.

Ответ:

11.

 

О.О.Ф. площади: .

ÎО.О.Ф.

х_тах = 10 – единственная точка экстремума.

Стороны прямоугольника: х = 10, у = 20-10=10.

Ответ: квадрат со стороной 10.

Ответы к задачам раздела II.

1.

1) ;

 

2)

3)

4)

5)

6) ;

7)

8)

9) .

2.

1) 2) 3) 4) .

3.

1) 2) 3) 4) 5) .

4.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) .

5.

1)

 

1)

2)

3)

4)

5) .

6.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) .

7.

1) Критических точек нет;

2) {2,5};

3) {-5/3; 1};

4) {-3; 2};

5) критических точек нет;

6) {0; 2; 4}.

8.

1) возрастает на (-¥; +¥);

2) убывает на (-¥; 3),

возрастает на (3; +¥);

3) возрастает на (-¥; -5/3), (1; +¥),

убывает на (-5/3; 1);

4) убывает на (-¥; 2), (2; +¥);

5) возрастает на (-¥; 5),

убывает на (5; +¥).

9.

1) x_min = 3, y_min = -4;

2) x_max = 4, y_max = 25;

3) x_min = -1, y_min = -4,

x_max = 1, y_max = 4;

4) x_min = -1, y_min = -1;

5) x_min = 1, y_min = 2,

x_max = , y_max = ;

6) экстремумов нет.

10.

1) ,

;

2) ,

наименьшего нет;

3) ,

наименьшего нет;

4) ,

;

5) ,

;

6) ,

.

Квадрат со стороной 9.