Векторный и алгебраический момент пары сил.

Алгебраический момент M=±F∙d (пара). M=±dF₁=±dF₂=±2S_ΔABC= ±S_ٱ. Он не меняется при перемещении сил вдоль линии их действия (ни плечо, ни направление вращения не меняются).

Векторный момент – вектор M = M (F, F’), направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда видно стремление пары повернуть тело против часовой хода стрелки, его модуль равен алгебраическому моменту пары.

M (F ₁, F ₂)= BA x F ₁= AB x F ₂.

Моменты относительно точки.

Алгебраическим моментом силы F относительно точки О называется взятое со знаком «+» или «-» произведение | F | на её плечо: M_O(F)=±Fh=±2S_ΔOAB ∙ M _O(F). «+» - против часовой стрелки. Характеризует вращательный эффект F.

Свойства:

А) Не меняется при переносе точки приложения вдоль линии действия силы. (т.к. | F |sinα= const).

Б) Ь=0 если т. О лежит на линии действия силы.

Плоскость действия M – через F и O.

Векторный момент силы F относительно точки О – вектор M _O(F)= r x F (r – радиус- вектор из А в О). | M _O(F)|=| F |∙| r |∙sinα=Fh.

i j k

M _O(F)= x_A y_A z_A =>

F_x F_y F_z

 

_ð M_Ox(F)=yF_z-zF_y

ð M_Oy(F)=zF_x-xF_z

M_Oz(F)=xF_y-yF_x

 

Билет №4.

1. Координатный способ задания движения точки (полярная система координат). Траектория, скорость, ускорение точки.
2. Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки.

Полярные координаты

Ox – полярная ось, φ – полярный угол, r – полярный радиус. Если задан закон r=r(t), φ=φ(t), то задано движение в полярной системе координат. Пусть r = rº r, rº - единичный вектор, pº┴rº - единичный вектор. Тогда v =d r /dt=r׳ rº +

rd rº /dt=r׳ rº +rφ׳ pº =v_r rº +v_p pº. v_p и v_r – трансверсальная и радиальная составляющая скорости. A =d v /dt=d(r׳ rº +rφ׳ pº)/ dt=r׳׳ rº +r ׳ d rº /dt+r׳φ׳ pº +rφ׳׳ pº +rφ׳∙

d pº /dt=(r׳׳-(rφ׳)²) rº +(rφ׳׳+2r׳φ׳) pº = a_r∙ rº +a_p pº.

r²=x²+y², φ=arctg(y/x).

v_r=r׳=(xv_x+yv_y)/r,

v_p=rφ׳=(xv_y-yv_x)/r

Т. о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил.

Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру О, заменив все действующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, и главным моментом M _O системы сил относительно точки О.

Доказательство:

Пусть О – центр приведения. Переносим силы F ₁, F ₂,…, F _n в точку О: F O= F ₁ + F ₂+…+ F _n= ∑ F _k. При этом получаем каждый раз соответствующую пару сил (F ₁, F ₁”)…(F _n, F _n”), Моменты этих пар равны моментам этих сил относительно точки О. M₁=M(F ₁, F ₁”)= r ₁x F ₁=M_O(F ₁). На основании правила приведения систем пар к простейшему виду M_O=M₁+…+M₂=∑M_O(F _k)= ∑ r _kx F _k => (F ₁, F ₂,…, F _n) ~ (R, M _O) (не зависит от выбора точки О).

Билет №5.

1. Определение скорости точки при задании ее движения в криволинейных координатах.
2. Момент силы относительно оси.

Скорость точки в криволинейных координатах.

V =d r /dt=(∂ r /∂q₁)∙dq₁/dt+(∂ r /∂q₂)∙dq₂/dt+(∂ r /∂q₃)∙dq₃/dt.

v= (dq₁/dt)H₁ e ₁+(dq₂/dt)H₂ e ₂+(dq₃/dt)H₃ e ₃.

v=√(dq₁/dt)²H₁²+(dq₂/dt)²H₂²+(dq₃/dt)²H₃². v_q1=(dq₁/dt)H₁, v_q2=(dq₂/dt)H₂, v_q3=(dq₃/dt)H₃.

Пример: 1) скорость в цилиндрической системе.

Т.к. x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z, то

H₁=1, H₂=ρ, H₃=1.

v_ρ=dρ/dt, v_φ=ρdφ/dt, v_z=dz/dt.

2) Движение по винтовой.

ρ=R=const, φ=kt, z=ut.

v_ρ=0, v_φ=kR, v_z=u.

Момент силы относительно оси.

Момент силы относительно оси – алгебраический момент проекции этой силы на ось, перпендикулярную оси z, взятого относительно точки A пересечения оси с этой плоскостью. Характеризует вращательный эффект относительно оси.

M_z(F)=±2S_ΔABC=±F_┴∙h.

Если M_z(F)=0, то сила F либо параллельна оси z, либо линия её действия пересекает ось z.

 

Билет №6.

1. Понятие о криволинейных координатах. Координатные линии и координатные оси.
2. Основные виды связей и их реакции.

Криволинейные координаты.

Устанавливают закон выбора 3 чисел q₁, q₂, q₃. q₁, q₂, q₃ – криволинейные координаты. Функция координат: r = r (q₁,q₂,q₃) (из точки О).

Возьмем точку М₀ с координатами q₁,q₁₀,q_20.

X=X(q₁,q₂₀,q₃₀);

Y=Y(q₁,q₂₀,q₃₀);

Z=Z(q₁,q₂₀,q₃₀);

Определяют кривую (переменная только q₁). Кривая – координатная линия, соответствующая изменению q₁ (аналогично q₂ и q₃). Касательные к координатным линиям, проведенные в точке M₀ в сторону возрастания соответствующих координат – координатные оси: [q₁], [q₂], [q₃].

 

H₁=

Коэффициент Ламе.

e ₁=(∂ r /∂q₁)/H₁.

Аналогично Н₂, Н₃, е ₂, е ₃.

Виды связей и их реакции.

Связи – ограничения, накладываемые на свободное твердое тело (занимает произвольное положение в пространстве). Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

1)Гладкая поверхность – по общей нормали.

2)Нить – вдоль к точке закрепления.

3)Сферический шарнир – по любому радиусу.

4)Сферический шарнир – по любому радиусу.

5)Подпятник, подшипник – любое направление.

Дополнительно:

А) Скользящий;

Б) Внутренний.

 

Билет №7.

1. Число степеней свободы твердого тела в общем и частных случаях его движения.
2. Лемма о параллельном переносе силы.