Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-12-13 | 306 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть D квадрируемое подмножество пространства R2, имеющее площадь S. Разбиением множества D ⊂ Rn будем называть конечную совокупность τ={D1,...,Dk} непересекающихся множеств Di ⊂ D, таких, что
k
U Di = D. Диаметром разбиения τ называется число δ = max δi
i=1 i
δi—диаметр множества Di.
Пусть D ⊂ R2, τ = {D1,...,Dk} — разбиение множества D, δ — диаметр разбиения τ, (ξi,ηi) — промежуточная точка множества Di, ∆Si — площадь Di. Функция f(x,y), определенная на D, называется интегрируемой на D, если существует конечный предел интегральных сумм
При этом сам предел I называют двойным интегралом (коротко — интегралом) от f на D и обозначают
Ограниченность функции на D является необходимым условием интегрируемости.
Свойства двойного интеграла.
Линейность.
Теорема 9.1. Если fи g — интегрируемые функции, то линейная комбинация αf + βg также интегрируема и
Монотонность.
Теорема 9.2. Если функции fи g интегрируемы на D и f(x,y) ﳰ g(x,y), ∀(x,y) ∈ D, то
Аддитивность.
Теорема9.3. Пустьмножество D разбито на две частиD1 иD2,не имеющие общих внутренних точек. Если f интегрируема на D1 и на D2, то f интегрируема на D. Обратно, если f интегрируема на D, то на интегрируема также на D1 и на D2. При этом
Теорема 9.4. Если f непрерывна на компакте D, то ∃(u,v) ∈ D такая, что
Сведение двойного интеграла к повторному
Рассмотрим функцию f(x,y), интегрируемую в квадрируемой области D.
Теорема 9.5. Пусть D —прямоугольник [a,b]х[c,d], и при ∀x ∈ [a,b] существует
Тогда
Множество D ⊂ R2 называется выпуклым вдоль оси 0y, если любой отрезок, параллельный Oy, концы которого принадлежат D, целиком лежит в D. Это равносильно тому, что пересечение любой прямой, параллельная Oy, с границей множества D либо является отрезком, либо содержит не более двух точек.
|
Область D ⊂ R2, ограниченную прямыми x = a, x = b, (a<b), снизу кривой y = y1(x), сверху кривой y = y2(x) будем называть криволинейной трапецией.
Теорема 9.6. Пусть D ⊂ Rn — криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a, x = b, (a < b), снизу кривой y=y1(x), сверху кривой y = y2(x) Если при ∀x ∈ [a, b] существует
32. Преобразование фигуры и замена переменной в двойном интеграле. Использование полярных координат.
(u, v) ∈ ∆
Вершины которого имеют координаты P1(u,v), P2(u + ∆u,v), P3(u + ∆u, v + ∆v), P4(u,v + ∆v).
Функции отображают прямоугольник P1P2P3P4 на некоторый криволинейный четырехугольник M1M2M3M4
M1(x(u, v), y(u, v)),
M2(x(u + ∆u,v),y(u + ∆u,v)),
M3(x(u + ∆u,v + ∆v),y(u + ∆u,v + ∆v)),
M4(x(u,v + ∆v),y(u,v + ∆v)).
Так как проекции отрезков M1’M2' и M3'M4' на оси координат равны, то M1'M2'M3'M4’– параллелограмм, площадь которого ∆s равна модулю определителя ∆
x=x(u,v,s) ∆=J(u,v)∆u∆v - якобиан
y=y(u,v,s) ∆s=|J(u,v)| ∆σ
z=z(u,v,s)
Замена переменных.
Пусть на компакте D ⊂ Rn задана непрерывная функция f(x,y) и пусть функции
имеющие непрерывные производные по u и v, взаимно однозначно отображают компакт ∆⊂R2 на компакт D⊂R2. Тогда
Связь между декартовыми координатами (x,y) точки и ее полярными координатами (ρ,ϕ) задается формулами
При замене переменных в
якобиан J(ρ, ϕ)=
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!