Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-12-13 | 228 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Пусть Vn – вещественное (комплексное) пространство чисел. Множество всех линейных операторов этого пространства обозначим символом Hom(Vn,Vn).
Пусть f,ϕ ∈ Hom(Vn,Vn).
Два линейных оператора f и ϕ называются равными и обозначаются f = ϕ, если f(x) = ϕ(x), для любого x ∈ Vn.
Теорема 12.1. Для того чтобы два линейных оператора были равны, необходимо и достаточно чтобы они имели в заданном базисе равные матрицы.
Суммой двух линейных операторов f и ϕ ∈ Hom(Vn,Vn) называется линейное отображение ψ:Vn→Vn, определяемое формулой ψ(x) = f(x) + ϕ(x), для любого x ∈ Vn.
Сумма линейных операторов f и ϕ обозначается f + ϕ.
Теорема 12.2. Сумма двух линейных операторов f и g есть линейный оператор. Матрица суммы линейных операторов в некотором базисе равна сумме матриц этих операторов в этом же базисе.
Произведением линейного оператора f и число λ называется отображение ψ:Vn→Vn, определяемой формулой
ψ(x) = λ · f(x), ∀x ∈ Vn
Это произведение обозначается λf.
Теорема 12.3. Произведение линейного оператора f на число λ, есть линейный оператор. Матрицей этого оператора является матрица λA, где A – матрица оператора f в некотором базисе пространства Vn.
Произведением двух линейных операторов f,ϕ∈Hom(Vn,Vn) называется отображение ψ: Vn → Vn, определяемое формулой ψ(x) = f[ϕ(x)], ∀x ∈ Vn.
Произведение операторов f, ϕ обозначается fϕ или f ◦ ϕ.
Теорема12.4. Произведениедвух линейных операторов является линейным оператором. Матрица произведения линейных операторов в некотором базисе равна произведению матриц этих операторов в том же базисе.
21. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
Пусть f – линейный оператор пространства Vn, а A и B – его матрицы соответственно в базисах
E = (e1, e2,..., en) (12.10)
EƘ = (e’1, e’2,..., e'n).
Пусть вектор x линейного пространства Vn имеет координатный столбец X = в базисе (12.10) и координатный столбец X’ = в базисе (12.11). Пусть далее вектор y = f(x), который является образом вектора x при отображении f, имеет координатный столбец Y = в базисе (12.10), а в базисе (12.11) – Y ‘ = -> Y = AX, (12.12) Y ‘ = BX'.
С другой стороны, учитывая, что S-матрица перехода от базиса (12.10) к базису (12.11)
X = SX’, (12.14)
Y = SY’. (12.15)
Умножив равенство (12.14) слева на матрицу A, получим AX = ASX’ или учитывая (12.12) и (12.15), получаем
SY’ = ASX’. Отсюда Y’ = S−1ASX’. Сравнивая последнее равенство с (12.13), имеем B = S−1AS. (12.16)
Таким образом, если матрица A – матрица оператора f в базисе (12.10), а S – матрица перехода от базиса (12.10) к базису (12.11), то матрица B оператора f в базисе (12.11) может быть найдена из соотношения (12.16).
Верно обратное. Пусть A – матрица линейного оператора f в базисе (12.10), S – произвольная невырожденная матрица и такая, что B = S−1AS. Если (12.11) – такой базис пространства Vn, что S – матрица перехода от (12.10) к (12.11), то в силу формулы (12.16) матрица B – матрица оператора f в базисе (12.11).
Отсюда получаем теорему.
Теорема 12.5. Две квадратные матрицы A и B n-го порядка тогда и только тогда являются матрицами некоторого линейного оператора f пространства Vn, когда существует невырожденная матрица S n-го порядка, такая, что выполняется равенство B = S−1AS.
Следствие 12.5.1. Если линейный оператор имеет в некотором базисе невырожденную матрицу, то и в любом другом базисе матрица этого оператора является невырожденной.
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!