Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-12-13 | 460 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Элементы х множества Х образуют абстрактное векторное пространство Х, если для них выполняется 8 аксиом векторного пространства относительно операций сложения элементов и умножения этих элементов на действительные числа и аксиома размерности x = + + … + , где элементы образуют базис в Х.
Замечание. Пространство построенное в примере 2 выше является арифметической или координатной моделью абстрактного векторного пространства Х размерности n. Элементы этого векторного пространства могут быть произвольной природы, в чём мы убедились на примерах приведённых выше, но все они имеют одну и ту же арифметическую или, что тоже, координатную модель.
Следствие.
Все -мерные абстрактные векторные пространства имеют одну и ту же арифметическую модель, поэтому изоморфны друг- другу.
Если векторное пространство содержит для всякого подмножество, , которое само является векторным пространством и для него выполняется аксиома размерности с заданным , то назовем бесконечным векторным пространством. Примером такого пространства является множество всех многочленов. Подмножества многочленов степени не выше n-1 образуют n мерные подпространства в этом пространстве.
Аксиомы скалярного произведения векторов.
Модель арифметического -мерного пространства не содержит понятий длинны вектора и углов между векторами. Чтобы установить понятие длины вектора и углов между векторами в пространстве размерности рассмотрим какими свойствами определяется правило измерения длин и углов в геометрической трёхмерной модели направленных отрезков.
Напомним, что в геометрической модели трехмерного векторного пространства определяется скалярное произведение представлением
|
(3.6)
В школьном курсе геометрии из этого представления выводятся три свойства:
1) , (3.7)
2) , и
3) ; .
Следствие.
Из формулы (3.6) находим представление длины вектора через скалярное произведение
, (3.8)
Если в качестве базиса выбрать векторы , то используя свойства 1-3 скалярного произведения, получаем координатное представление скалярного произведения:
,
(3.9)
Мы воспользовались тем, что , .
Следствие.
Используя (3.8) и (3.9), заключаем, что длина трёхмерного вектора вычисляется по правилу
(3.10)
А из формул (3.6), (3.9) и (3.10) находим формулу для вычисления углов между векторами
= (3.11)
Вывод 4.
Вычисление длин и углов для векторов трёхмерного векторного пространства осуществляется при помощи скалярного произведения векторов. Структура скалярного произведения в трёхмерном случае определяется тремя свойствами (3.7), которые мы примем в качестве аксиом задания скалярного произведения..
Для определения длинны вектора в при воспользуемся связью между длинной вектора и скалярным произведением в трёхмерном пространстве направленных отрезков. При этом скалярное произведение зададим аксиоматически теми же свойствами, которыми оно определяется в трехмерном векторном пространстве.
Схему, по которой мы из определения скалярного произведения (3.6) получили формулу длины вектора (3.10), повторим в абстрактном векторном пространстве с той разницей, что во первых, скалярное произведение векторов зададим при помощи трех аксиом (3.7) и во вторых, существование скалярного произведения в координатной модели установим формулой, аналогичной (3.9):
(3.12)
где , в .
Теперь, согласно нашей схеме, длина вектора определена формулой (3.8). Из (3.8) с учетом (3.12) получаем формулу длинны вектора в -мерном арифметическом пространстве аналогичную (3.10) в виде
. (3.13)
Формула для вычисления косинуса угла получаем в виде
= (3.14)
|
|
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!