Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-12-13 | 541 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Для рассмотрения однородных дифференциальных уравнений первого порядка введем понятие однородных функций.
Определение. Функция называется однородной n-го измерения по своим переменным х и у, если она удовлетворяет равенству .
Замечания:
1) Однородная функция нулевого измерения фактически зависит от отношения , так как, если в соотношении считать , то .
2) Отношение двух однородных функций одного и того же измерения
является однородной функцией нулевого измерения.
Пусть , где и однородные функции n -го измерения, то есть , тогда .
Определение. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида (3), правая часть которого является однородной функцией нулевого измерения, то есть .
Для решения однородного уравнения используется подстановка , где - неизвестная функция и = , или . Подставим выражения у и в уравнение , получим (*) - уравнение с разделяющимися переменными. Так как , то и = - уравнение с разделенными переменными. Интегрируя последнее уравнение получим - общий интеграл уравнения (*).
После нахождения необходимо вернуться к функции и найти общий интеграл уравнения (3).
Замечания.
1. Уравнение является однородным, если правая часть:
1) зависит фактически от отношения ;
2) является отношением двух однородных функций одного измерения.
2. Уравнение вида является однородным, если P(x) и Q(y) - однородные функции одного измерения.
Пример. Решить уравнение .
Решение. . Так как , то . Так как , то ,
= , , .
Так как , то - общее решение уравнения.
Лекция 14. Дифференциальные уравнения второго порядка.
Определение дифференциальных уравнений второго порядка. Основные понятия.
|
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Фундаментальная система решений (ФСР). Теоремы об общем решении.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами их частные решения в зависимости от вида правой части. Метод вариации произвольных постоянных.
Определение дифференциальных уравнений второго порядка. Основные понятия.
Определение. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида (1) или .
Определение. Общим решением дифференциального уравнения (1) называется функция вида , зависящая от двух произвольных постоянных и и удовлетворяющая уравнению (1) при любых значениях и .
Определение. Частным решением дифференциального уравнения (1) называется функция , полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных .
Начальные условия для дифференциального уравнения второго порядка задаются с помощью трех чисел или и . Иначе говоря задается точка и угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в данной точке. Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, называется решением задачи Коши.
Геометрический смысл решения задачи Коши.
Так как , то среди интегральных кривых, проходящих через точку , находят единственную кривую, для которой прямая с угловым коэффициентом , является касательной.
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!