Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-12-13 | 283 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Если – первообразная функции на , то для функции
первообразными будет множество функций вида .
Определение. Совокупность всех первообразных функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции на и обозначается .
Нахождение функции по ее производной называется интегрированием функции. Для проверки правильности интегрирования надо взять производную от полученного результата, при этом должна быть получена подынтегральная функция. Как всякая обратная операция, интегрирование – более сложное действие, чем дифференцирование. Рассмотрим основные линейные и нелинейные свойства неопределенного интеграла:
Доказательство 2.
.
Таблица неопределенных интегралов.
1. , ,
2. , ,
3. ,
4. ,
5. , ,
6. , ,
7. , ,
8. ,
9. ,
10. , .
Основные методы интегрирования функций.
а) Метод непосредственного интегрирования основан на свойствах неопределенного интеграла, применении таблицы интегралов и элементарных преобразований функций.
Пример 1. .
Пример 2. . Пример 3. .
б) Интегрирование по частям.
Теорема. Пусть и – две дифференцируемые функции на , тогда выполняется равенство .
Доказательство. Рассмотрим формулу . Интегрируя обе части равенства, получим или (*)
Эта формула позволяет свести нахождение к нахождению интеграла , который может оказаться более простым.
Замечания:
Формула (*) применима, если под интегралом одна из функций является алгебраической, другая – трансцендентной, причем если производная трансцендентной функции является также трансцендентной функцией, то за U принимают алгебраическую функцию, если же производная трансцендентной функции – алгебраическая функция, то за U принимают трансцендентную функцию.
|
За U обычно принимают функцию, которую трудно интегрировать.
Типы интегралов, берущихся по частям.
1) – многочлен, 2) , 3) ,
4) , 5) , 6) .
Интегралы 5 и 6 берутся применением формулы (*) дважды. В результате получается уравнение относительно исходного интеграла. Если в формуле 6 за U взята функция , то при повторном интегрировании за U вновь принимаем .
Пример. в) Интегрирование методом замены переменной.
Теорема 1. Пусть функция непрерывна на , а функция имеет непрерывную производную на , причем при значение и существует обратная функция , тогда справедлива формула (1).
Пример.
Частным случаем теоремы 1 является
Теорема 2. Если , то .
Формулой (1) пользуются и справа налево, тогда этот метод называется методом «подведения функции под знак дифференциала».
Пример.
1. ,
2. .
Лекция 10. Интегрирование некоторых классов функций.
Интегрирование простейших рациональных дробей.
Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простейшие дроби.
Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Некоторые тригонометрические подстановки.
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!