Определение выпуклости и вогнутости графика функции. Достаточное условие выпуклости и вогнутости графика. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба.

Пусть определена на , .

График называется выпуклым в точке , если кривая лежит под касательной в точке .

График называется вогнутым в точке , если кривая лежит над касательной в точке .

Теорема (достаточное условие выпуклости и вогнутости графика функции). Пусть имеет непрерывную вторую производную на , тогда: если для каждого , то вогнутая на ; если для каждого , то выпуклая на .

Определение. Точки графика функции, которые отделяют выпуклую часть

графика от вогнутой, называются точками перегиба.

В точках перегиба касательная к графику функции пересекает его с обеих сторон, с одной стороны график лежит над касательной, с другой - под касательной.

Теорема 1. (необходимое условие существования точки перегиба).

Пусть - абсцисса точки перегиба графика функции и дважды дифференцируема в точке , тогда .

Замечание. Обратное утверждение к теореме, вообще говоря, неверно. Из того, что ещё не следует, что - абсцисса точки перегиба. Например, для функции , , и при , но точка (0;0) не является точкой перегиба функции .

Теорема 2. (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и дважды дифференцируема в этой окрестности, кроме, может быть, самой этой точки , тогда: если при переходе через точку меняет свой знак, то - абсцисса точки перегиба; если при переходе через точку не меняет знак, то не является абсциссой точкой перегиба.

Асимптоты графика функции.

Определение. Прямая линия l называется асимптотой графика функции , если расстояние от текущей точки кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении текущей точки кривой от начала координат.

Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты имеют уравнение , при этом хотя бы один из пределов функции при должен быть равен или . Вертикальные асимптоты ищут на границах области определения функции и в точках бесконечного разрыва функции.

Наклонные асимптоты имеют уравнение . Их ищут по двум направлениям при , по формулам

, .

Частным видом наклонных асимптот являются горизонтальные асимптоты, которые имеют место при .

Уравнение горизонтальных асимптот . Если хотя бы один из пределов для нахождения k или b не существует, или бесконечен, то наклонных асимптот в данном направлении нет.

Схема нахождения асимптот:

1) найти область определения функции;

2) найти вертикальные асимптоты на основе области определения;

3) найти наклонные асимптоты по формулам для вычисления k и b при .

Лекция 6. Функции многих переменных.

6.1. Определение функции двух переменных, область определения функции, график функции.

Определения предела и непрерывности функции двух переменных. Свойства непрерывных функций.

Частные производные.

 

6.1. Определение функции двух переменных, область определения функции, график функции.

Для упрощения ограничимся рассмотрением функции двух переменных. Все дальнейшее справедливо и для функции многих переменных.

Определение. Если по какому-либо закону или правилу каждой паре независимых переменных ставится в соответствие вполне определенное значение z, то говорят, что на множестве D определена функция двух переменных .

Область определения D функции двух переменных является некоторым подмножеством точек плоскости .

Определение. Графиком функции двух переменных является множество точек пространства вида , где и D - область определения функции двух переменных.

 

Определения предела и непрерывности функции двух переменных. Свойства непрерывных функций.

Пусть определена на множестве и точка - предельная точка множества D (т.е. любая окрестность точки содержит точки множества D, отличные от точки ). Расстояние между точками и определяется по формуле .

Определение. Число A называется пределом функции при

, если для любого положительного числа найдется число , зависящее от такое, что как только при и .

Замечание.

Неравенство определяет окрестность точки или множество точек , расстояние которых до точки меньше : .

Все правила вычисления и свойства пределов для функции одной переменной справедливы для и функции двух переменных.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если

предел этой функции в точке совпадает со значением функции в точке , то есть .

Придадим аргументам и приращения и так, чтобы точки , , и принадлежали области определения функции. Тогда:

- частное приращение функции z по переменной x в точке ;

- частное приращение функции z по переменной y в точке ;

- полное приращение функции в точке .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое полное приращение функции, то есть при и .

Данные определения непрерывности функции эквивалентны.

Свойства функций, непрерывных на ограниченном замкнутом множестве.

Теорема 1. Если функция непрерывна на ограниченном замкнутом множестве, то она ограничена на этом множестве.

Теорема 2. Если функция непрерывна на ограниченном замкнутом множестве, то на этом множестве она достигает своего наименьшего и наибольшего значений.

Теорема 3. Если функция непрерывна на ограниченном замкнутом множестве и в двух точках этого множества принимают значения разных знаков, то на этом множестве найдется точка , в которой функция обращается в ноль, то есть .

 

Частные производные.

Пусть функция определена на множестве , точки , , , .

Определение. Частной производной функции по переменной x в точке называется предел отношения частного приращения функции z по переменной x в точке к приращению аргумента , когда . .

Определение. Частной производной функции по переменной y в точке называется предел отношения частного приращения функции z по переменной y в точке к приращению аргумента y, когда .

.

Замечание: 1) все правила дифференцирования функции одной переменной справедливы для функций многих переменных; 2) при нахождении частной производной функции по одной переменной все остальные переменные считают постоянными, то есть для функции при вычислении , при вычислении ; для функции при вычисления , при вычислении , при вычислении

Пример.