История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-12-13 | 336 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Определение. Разность между случайной величиной и её математическим ожиданием называется отклонением случайной величины Х от своего математического ожидания, или центрированной случайной величиной.
.
Название «центрированная случайная величина» связано с тем, что математическое ожидание есть центр распределения. является смещённой по отношению к Х случайной величиной типа Х + С.
Теорема об отклонении.
Математическое ожидание отклонения равно нулю:
.
Пример. Проводится n измерений некоторого объекта (например, в топографии принято каждый объект измерять не менее 6 раз). Средним значением (математическим ожиданием) будет число, близкое к истинному размеру объекта. Действительно, если при измерении не допускаются систематические ошибки, связанные с особенностями наблюдателя и измерительного прибора, то ошибки положительного и отрицательного знака (отклонения) в среднем будут уравновешивать друг друга. При дальнейшем увеличении числа опытов среднее арифметическое реагирует на это увеличение все меньше и меньше и при достаточно большом числе опытов практически перестаёт меняться:
, или .
Тема: Дисперсия
Дисперсия
Для общего представления о распределении случайной величины важное значение имеет не только её математическое ожидание, но и разброс её возможных значений.
Рассмотрим две случайные величины, имеющие одинаковое математическое ожидание (равное нулю):
X | -0,1 | 0,1 | Y | -100 | ||
p | 0,5 | 0,5 | g | 0,5 | 0,5 |
В теории вероятностей для измерения разброса значений случайной величины около среднего значения используют понятие дисперсии (dispersio – рассеяние).
Определение дисперсии
Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины, или квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
. (12.2.1)
Таким образом, дисперсия - это средний квадрат отклонения. Отклонения возводятся в квадрат, чтобы их сумма не была равна нулю, что имеет место согласно теореме об отклонении.
Если случайная величина Х дискретна и имеет закон распределения (xi, pi) (i =1,2,…, n), то, обозначив МХ=а, из (12.2.1) будем иметь:
Х-MX | х 1 –a | х 2 –a | ……… | хn–a |
p | p 1 | p 2 | ……… | pn |
(Х-MX)2 | (х 1 –a)2 | (х 2 –a)2 | ……… | (хп–a)2 |
p | p 1 | p 2 | ……… | pn |
. (12.2.2)
В правой части (12.2.2) все слагаемые неотрицательны, следовательно, чем меньше каждое из них, т.е., чем ближе значения случайной величины к математическому ожиданию, тем меньше дисперсия. Это и означает, что дисперсия является характеристикой рассеяния значений случайной величины.
Пример. Случайная величина распределена по закону, указанному в таблице. Найти ее дисперсию.
Сначала найдем математическое ожидание:
МХ =1×0,3+2×0,7=0,3+1,4=1,7.
Составим ряды распределения для центрированной случайной величины и для её квадрата. Согласно теоремам 2 и 3 о случайных величинах, вероятности при этом не изменятся:
Х–МХ | –0,7 | 0,3 | ( Х–МХ )2 | 0,49 | 0,09 | |
р | 0,3 | 0,7 | р | 0,3 | 0,7 |
Дисперсия по определению равна математическому ожиданию квадрата центрированной случайной величины:
Если в формуле (12.2.2) заменить на х, на , а сумму на интеграл, то получим выражение для дисперсии непрерывной случайной величины.
Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины Х называется число
(12.2.3)
Это определение имеет смысл лишь для таких случайных величин Х, для которых интеграл (12.2.3) сходится.
Если все возможные значения непрерывной случайной величины Х сосредоточены на отрезке [ a, b ], то:
. (12.2.4)
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!