Закон больших чисел в форме Бернулли

Согласно свойству статистической устойчивости относительные частоты

, (7.5.1)

где - абсолютная частота появления события А, п - число испытаний в серии. Закон больших чисел устанавливает, насколько близки значения относительной частоты и вероятности.

 

Определение. Отклонением числа х от числа а называется разность х-а:

d =x-a.

Пример. Отклонение относительной частоты от вероятности – это разность

.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0< p <1). Пусть событие А наступило в этой серии испытаний т раз. Вероятность осуществления неравенства

(7.5.2)

будем обозначать так:

(7.5.3)

Докажем, что эта вероятность стремится к 1 при n ®¥.

Закон больших чисел в форме Бернулли. В условиях схемы Бернулли для любого сколь угодно малого положительного числа e с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно ожидать, что при достаточно большом числе испытаний n модуль отклонения относительной частоты появления события А от его вероятности не превосходит e:

. (7.5.4)

. (7.5.7)

Замечание. Закон можно переписать в виде , которая широко применяется на практике, например, при контроле изделий.

Пример 1. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей будет отличаться от вероятности р =0,1 не более чем на 3%.

По условию n =400, p =0,1; q =0,9; e=0,03. Требуется найти вероятность

По формуле (7.5.7):

По таблице находим Ф(2)=0,4772 Þ 2Ф(2)=0,9544.

Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб по 400 деталей в каждой, то примерно в 95,44% этих проб относительная частота будет отличаться от постоянной вероятности р =0,1 не более, чем на 3% (относительная частота с точностью 3% будет равна 0,01). Заметим, что абсолютная частота появления нестандартной детали т (так же как и относительная частота) в вычислениях не участвовала.

Можно решить и обратную задачу.

Пример 2. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна 0,1. Сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью, равной 0,9544, можно было утверждать, что относительная частота появления нестандартных деталей среди отобранных отклонится от постоянной вероятности р не более чем на 3%?

По условию р =0,1; q =0,9; e=0,03; Требуется найти n.

По формуле (7.5.7)

По таблице значений функции Лапласа находим . Для отыскания числа n получаем уравнение: Отсюда , и искомое число деталей n =400.

Найдем число нестандартных деталей в 95,44% проб. Согласно закону больших чисел выполняются равенства (7.5.2) и (7.5.5). Из (7.5.5) имеем:

n (p- e) <m<n (p+ e); (7.5.8)

400(0,1-0,03)< m <400(0,1+0,03);

28< m <52.

Если взять даже одну пробу из 400 деталей, то с большой уверенностью (около 95%) можно ожидать, что в этой пробе будет нестандартных деталей не менее 28 и не более 52. Возможно, хотя и маловероятно, что нестандартных деталей окажется меньше 28 либо больше 52.

Пример 3. Французский ученый Бюффон (XVIII в.) бросил монету 4040 раз, причем герб появился 2048 раз. Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота появления герба отклонится от вероятности его появления по модулю не более, чем в опыте Бюффона.

;

По формуле (7.5.7) . Найдем аргумент функции Лапласа.

.

Как видим, вероятность невелика и повторять опыт Бюффона мало смысла.

Пример 4. В урне содержатся белые и чёрные шары в отношении 4:1. После извлечения шара регистрируется его цвет, и шар возвращается в урну. Чему равно наименьшее число извлечений п, при котором с вероятностью 0,95 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления белого шара от его вероятности будет не более, чем 0,01?

;

.

.

Число извлечений не слишком велико, и опыт можно поставить.

 

Пример 5. Игральную кость бросают 80 раз. Найти с вероятностью 0,99 границы, в которых будет заключено число т выпадений шестёрки.

Сначала найдем e.

;

.

Для нахождения т воспользуемся формулой (7.5.8):

n (p- e) <m<n (p+ e);

.

Формула Пуассона

Приведём еще одну приближённую формулу для вычисления , которая применяется в случае редких событий, т.е. когда число испытаний п в серии велико, а вероятность появления события А в одном испытании р мала. Примерами таких событий являются звонки отдельных абонентов на телефонную станцию, обрыв нити на ткацком станке, и т.д.

Сделаем важное допущение: число появлений события А в каждой серии испытаний остаётся постоянным, т.е. абсолютная частота m= const, следовательно, .

Теорема Пуассона. Пусть проводятся серии из n независимых испытаний, причем вероятность появления события А в одном испытании Р (А) =p_n >0 зависит от числа испытаний в серии n и стремится к нулю при n ®¥. Пусть, далее, для каждой серии среднее значение числа появлений события А постоянно, т.е.

np_n l=const. (7.6.1)

Тогда при больших n вероятность появления события А в серии из n испытаний ровно k раз можно вычислить по формуле:

(7.6.2)

Эта формула называется формулой Пуассона.

Замечание 1. - абсолютная частота появления события А в серии из п испытаний.

Замечание 2. По условию теоремы чем больше п - число испытаний в серии, тем меньше вероятность р_п; р_п образуют последовательность вероятностей редких событий, .

Формулу Пуассона можно применять в случаях, когда число испытаний n велико, вероятность события А p_n=p мала (p <0,1), а l= np «не мало и не велико» (). Чем меньше вероятность события (чем реже событие), тем больше должно быть число испытаний (например, выборок).

Например, 5 белых шаров находятся в урне, где всего шаров 100, 1000, и т.д. .

Другой пример. Пусть п – число жителей посёлка. Вероятность того, что данный житель зайдёт в конкретный магазин, уменьшается с увеличением п. Но число посетителей магазина примерно одинаково каждый день.

На практике не обязательно требовать, чтобы , достаточно, чтобы п было большим, а р маленьким. Формула Пуассона находит применение в теории массового обслуживания.

Однако при npq 10 можно пользоваться теоремой Муавра-Лапласа.

Пример 1. Вероятность того, что конкретный абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 4 абонента?

n =300, p =0,01 Þl=300×0,01=3;

Пример 2. В урне имеется 500 шаров, из которых 5 белых. Производится 100 извлечений по одному шару с возвращением. Какова вероятность того, что белый шар появится не более двух раз?

n =100, p =0,01 Þl=100×0,01=1; npq =100×0,01×0,99=0,99<10 Þ

применять интегральную теорему Лапласа нельзя. По формуле Пуассона

При использовании формулы Пуассона можно пользоваться таблицами значений Р_k=P_n (k) для различных l, которые приводятся в справочниках по высшей математике и в книгах по теории вероятностей.

Тема: Дискретные случайные величины

Случайные величины

Первая часть нашего курса была посвящена случайным событиям. Объектами изучения были события и соответствующие им вероятности. Теперь мы будем рассматривать только события, заключающиеся в появлении некоторого числа. Мы уже встречались с такими событиями. Например, при бросании игральной кости могли появиться числа 1,2,…,6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1,2,…,6 есть возможные значения этой величины. Появление определённой карты при вынимании из колоды будет случайной величиной только в случае, если мы занумеруем картинки, например, валету будет соответствовать число 11, тузу - 1. Масти тоже можно занумеровать: 1, 2, 3, 4.

 

Определение. Случайной называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперёд не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример 1. Число родившихся мальчиков среди 100 новорожденных есть случайная величина, которая может принимать следующие возможные значения: 0,1,2,…,100.

Пример 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин (силы и направления ветра, температуры и т.д.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку < а, b>.

Пример 3. Номер первого шара, выкатившегося из лототрона при игре «6 из 49», есть случайная величина, принимающая значения 1,2,…,49.

Будем далее обозначать случайные величины прописными буквами X,Y,Z, а их возможные значения соответствующими строчными буквами x, y, z. Например, если случайная величина Х имеет три различных значения, то они будут обозначены так: х ₁, х ₂, х ₃.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.

Пример 4. Число судов, которые могут войти в порт для разгрузки в течение суток – дискретная случайная величина. Продолжительность разгрузки некоторого судна – непрерывная случайная величина.