Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-12-13 | 713 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим серию испытаний по схеме Бернулли. Характеристическая случайная величина c k – это число появлений события А при k -м испытании. Событие А может произойти в одном испытании либо 1 раз, либо ни разу (0 раз). Следовательно, величина c k может принимать только два значения: 1, если событие А произойдет при k -м испытании, и 0, если событие А не произойдет при k -м испытании. Т.к. вероятность события А равна р в каждом испытании, то величины c1, c2,…, c n имеют одинаковые таблицы распределения вероятностей:
|
| …… |
| …… |
|
(8.2.1)
Полигон индикатора события изображен на рис.8.2.1.
Рис.8.2.1
Биномиальное распределение (распределение Бернулли)
Пример 1. Стрелок производит 2 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле =0,4. Построить ряд распределения числа попаданий при двух выстрелах.
Случайная величина Х – число попаданий. Эта случайная величина может принимать следующие возможные значения: х 1=0, х 2=1, х 3=2. Вероятности вычислим по формуле Бернулли
(8.3.1)
для n =2, p =0,4, q =0,6:
Контроль: 0,36+0,48+0,16=1.
Ряд распределения будет иметь вид:
Х | |||
p | 0,36 | 0,48 | 0,16 |
Полигон распределения изображен на рис.8.3.1. Видно, что наиболее вероятно одно попадание из двух выстрелов.
Определение. Случайная величина X называется биномиально распределённой с параметрами n и р, если возможные значения k =0, 1,…, n она принимает с вероятностями Рn (k), задаваемыми формулой Бернулли:
|
Р (Х=k)= .
Биномиальное распределение полностью определяется двумя параметрами: n и р.
Применим бином Ньютона для суммы вероятностей р и q. При этом в правой части суммируются вероятности Рn (k):
. (8.3.4)
Таким образом, закон биномиального распределения имеет вид:
Х | ………… | k | ………… | n- 1 | n | ||
p | qn | ………… | ………… | n |
Из формулы (8.3.4) видно, что сумма второй строки таблицы равна 1 (т.к. p+q =1).
Распределение Пуассона
В некоторых задачах физики и техники встречаются случайные величины, подчинённые закону распределения Пуассона. Закону распределения Пуассона подчиняются, например, количество вызовов на автоматической телефонной станции за данный промежуток времени; количество электронов, вылетающих с накалённого катода за данный промежуток времени.
Сделаем важное допущение: произведение np сохраняет постоянное значение, равное l. Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях n, остаётся неизменным. Действительно, вероятность приближенно равна относительной частоте: т.е. l приближённо равна абсолютной частоте.
Определение. Случайная величина Х называется распределённой по закону Пуассона с параметром l =np, если она принимает значения k =0,1,2,… с вероятностями
(8.4.1)
Составим ряд распределения случайной величины Х:
Х | … | N | … | ||||
р | … | … |
Найдём сумму вероятностей:
(в скобках получилось разложение функции еl в ряд Маклорена).
Распределение Пуассона полностью определяется одним параметром l и обладает удобными аналитическими свойствами. Например, сумма двух независимых случайных величин, имеющих распределение Пуассона с параметрами l и m, имеет распределение Пуассона с параметром l+m и используется при построении математических моделей различных случайных процессов. Применяется для описания редких событий.
|
Пример 1. Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,001. Построить ряд распределения и полигон случайной величины Х – количества изделий из 5000, не выдержавших испытания.
l=5000×0,001=5.
Р (Х =0)=0,0067 Р (Х =4)=0,1755 Р(Х =8)=0,0653
Р (Х =1)=0,0337 Р (Х =5)=0,1755 Р(Х =9)=0,0363
Р (Х =2)=0,0842 Р (Х =6)=0,1462 Р(Х =10)=0,0181
Р (Х =3)=0,1404 Р (Х =7)=0,1044 Р(Х =11)=0,0082
Р(Х =12)=0,0034.
Кривые (полигоны), вычисленные с помощью биномиального распределения и распределения Пуассона, практически совпадают. Приведём значения вероятностей, вычисленных по биномиальному закону.
р =0,001; q =0,999; n =5000. По формуле (8.3.2)
Данное совпадение и должно иметь место, т.к. при больших п, т.к.
®
Распределение Пуассона впервые было исследовано французским ученым С.Пуассоном в 1837 г.
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!