Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-12-13 | 292 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Определение 1. Событие В называется независимым от события А, если вероятность события В не зависит от того, произошло событие А или нет.
Определение 2. Событие В называется зависимым от события А, если вероятность события В меняется в зависимости от того, произошло событие А или нет.
Пример 1 (с шарами). В урне 4 белых и 8 чёрных шаров. Испытание заключается в том, что последовательно вынимаются 2 шара. Событие А – первый вынутый шар белый, В – второй вынутый шар белый. Тогда Р (А) равна 1/3, а Р (В) зависит от того, какого цвета первый вынутый шар, т.е. события А и В зависимы. Действительно, после того, как событие А произошло, т.е. вынули белый шар, в урне осталось 11 шаров, из них 3 белых. Следовательно, вероятность того, что 2-й вынутый шар окажется белым, будет равна 3/11. Если же событие А не произошло, то вероятность события А будет другой (если первый вынутый шар оказался чёрным, то вероятность события В равна 4/11). Если произошли оба события А и В, это означает, что произошло событие АВ (оба вынутых шара белые). Вычислим вероятность события АВ, не прибегая к понятию зависимых событий.
Заметим, что условие данной задачи равносильно следующему: из урны вынимаются сразу 2 шара. Вероятность события АВ (оба вынутых шара белые) можно вычислить, не прибегая к понятиям зависимых событий, по формуле (4.4.1) задачи о выборке - для выборки 2 шаров из 12 (N =12, M =4, n =2, m =2):
Условная вероятность
Определение. Вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р (В/А).
Так, в последнем примере можно записать: Р (А)=1/3; P (B/A)=3/11.
Событие А может происходить раньше события В или одновременно с ним.
Условие независимости события В от события А можно записать в виде:
Р (В/А) =Р (В), (5.3.1)
а условие зависимостиВ от А – в виде:
Р (В/А) ¹Р (В). (5.3.2)
Условная вероятность определяется следующим образом:
. (5.3.3)
Умножение вероятностей
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло:
Р (АВ) =Р (А) ×Р (В/А). (5.4.1)
Доказательство следует непосредственно из определения условной вероятности (5.3.3).
Следствие 1. С помощью метода математической индукции формулу (5.4.1) можно распространить на произведение любого числа событий. Для трех событий:
Р (АВС) =Р (А) Р (В/А) Р (С/АВ),
где последний множитель означает вероятность события С при условии, что А и В произошли. Для п событий:
Р (А 1 А 2 ...Аn) =Р (А 1) Р (А 2 /А 1) …Р (Аn/А 1 А 2 …An- 1) (5.4.4)
Пример. На полоске картона написали слово «математика», полоску разрезали на квадратики, содержащие по одной букве. Квадратики тщательно перемешали. Какова вероятность того, что из взятых по одному и выложенных в ряд 4 квадратиков можно получить слово «тема»?
Обозначим события, заключающиеся в появлении букв, этими же буквами:
Р (Т)=2/10=1/5; Р (Е/Т)=1/9; Р (М/ТЕ)=2/8=1/4; Р (А/ТЕМ)=3/7.
По формуле (5.5.4)
Р (ТЕМА)=1/5×1/9×1/4×3/7=1/420.
Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Доказательство. Если В не зависит от А, то Р (В/А) =Р (В) (формула (5.3.1)). Подставим в (5.4.1):
Р (АВ) =Р (А) ×Р (В). (5.4.5)
Замечание. Равенство (5.4.5) можно рассматривать как определение независимости событий А и В.
Пример. В урне 4 белых и 8 черных шаров. Испытание заключается в том, что последовательно вынимаются 2 шара. Изменим условие примера, приведенного в параграфе 5.3 (независимые и зависимые события). Пусть после фиксирования цвета первый шар возвращается в урну, и шары перемешиваются. Событие А – первый вынутый шар белый. Событие В – второй вынутый шар белый. Чему равна вероятность того, что оба вынутых шара белые?
События А и В независимы. Вычислим их вероятности по классической схеме: Р (А) =Р (В)=4/12=1/3.
Вероятность произведения АВ вычислим по формуле (5.4.5):
Р(АВ) =1/3×1/3=1/9.
Заметим, что вероятность в этом случае больше (по сравнению с 1/11), т.к. при втором вынимании было больше белых шаров.
Вычислим вероятность появления двух белых шаров без возврата первого шара (пример 5.3.1 с шарами). По формуле (5.4.1)
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!