Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-12-12 | 373 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема (о существовании и непрерывности обратной функции). Пусть на интервале (a,b) определена непрерывная возрастающая (убывающая)функция y=f(x). Обозначим
Тогда на интервале (А, В) определена обратная функция , которая возрастает(убывает) на этом интервале и является непрерывной в каждой точке этого интервала.
ВОПРОС№22: Дифференцируемые функции. Критерий дифференцируемости
Определение. Функция f, определенная в окрестности точки x, называется дифференцируемой в этой точке, если верна формула
f (x штрих + ▲ x штрих) - f (x штрих) =S Ai ▲ xi +Sai ( ▲ x штрих) ▲ xi (3)
где i A – числа, а функции ai (▲ x штрих) удовлетворяют условию
ai (▲ x штрих)→ 0 ( i = 1,2,…, n ) при ▲ x →0. (4)
Теорема. Пусть функция f дифференцируема в точке x. Тогда в этой точке у нее существуют частные производные и выполнены равенства
(df(x штрих))/ (dxi)= Ai(i=1,2,…,n).
Доказательство. Из формулы (3) следует, что
(f (x1,...,xi-1,xi+▲ xi,xi+1,...,xn)- f (x1,...,xi-1,xi,xi+1,...,x n))/(▲Xi)= Ai+αi(▲Xi).
Переходя к пределу при ▲x i → 0, получим равенство (5).
Теорема (достаточные условия дифференцируемости функции). Если функция f имеет частные производные по всем переменным в некоторой окрестности точки x штрих, причем все эти частные производные непрерывны в самой
точке x штрих, то указанная функция дифференцируема в этой точке.
Теорема (критерий дифференцируемости функции). Функция f (x), определенная в окрестности точки x, дифференцируема в этой точке тогда и только тогда, когда существует производная f ׳(x). При этом F = f ׳(x).
Доказательство. Пусть существует производная f ׳(x). Обозначим
a(t) =(((f(t)-f(x)) /(t-x)) - f׳ (x)
Тогда
f(t) =f (x)+ (t-x) f׳(x)+ (t-x)α (t),(α(t)→0). (2)
Пусть теперь выполнено равенство (1). Тогда
|
((f(t)-f(x)) /(t-x) = F+ α(t),limα(t) = 0.
Следовательно, существует производная f ׳(x)= F.
ВОПРОС№23: Производная суммы, разности, произведения и частного двух функций.
Производная суммы и разности
Пусть даны функции f(x) и g(x), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:
1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’
Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g, и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.
· Задача. Найти производные функций: f(x) = x2 + sin x; g(x) = x4 + 2x2 − 3.
Решение. Функция f(x) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:
f ’(x) = (x2 + sin x)’ = (x2)’ + (sin x)’ = 2x + cos x;
Аналогично рассуждаем для функции g(x). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):
g ’(x) = (x4 + 2x2 − 3)’ = (x4 + 2x2 + (−3))’ = (x4)’ + (2x2)’ + (−3)’ = 4x3 + 4x + 0 = 4x · (x2 + 1).
Ответ:
f ’(x) = 2x + cos x;
g ’(x) = 4x · (x2 + 1).
Производная произведения
Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.
· Задача. Найти производные функций: f(x) = x3 · cos x; g(x) = (x2 + 7x − 7) · ex.
Решение. Функция f(x) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:
f ’(x) = (x3 · cos x)’ = (x3)’ · cos x + x3 · (cos x)’ = 3x2 · cos x + x3 · (− sin x) = x2 · (3cos x − x · sin x)
У функции g(x) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g(x) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:
g ’(x) = ((x2 + 7x − 7) · ex)’ = (x2 + 7x − 7)’ · ex + (x2 + 7x − 7) · (ex)’ = (2x + 7) · ex + (x2 + 7x − 7) · ex = ex · (2x + 7 + x2 + 7x −7) = (x2 + 9x) · ex = x(x + 9) · ex.
|
Ответ:
f ’(x) = x2 · (3cos x − x · sin x);
g ’(x) = x(x + 9) · ex.
Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.
Производная частного
Если есть две функции f(x) и g(x), причем g(x) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h(x) = f(x)/g(x). Для такой функции тоже можно найти производную:
Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g2? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.
Задача. Найти производные функций: f(x) = x3 · cos x; g(x) = (x2 + 7x − 7) · ex.
Решение. Функция f(x) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:
f ’(x) = (x3 · cos x)’ = (x3)’ · cos x + x3 · (cos x)’ = 3x2 · cos x + x3 · (− sin x) = x2 · (3cos x − x · sin x)
У функции g(x) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g(x) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:
g ’(x) = ((x2 + 7x − 7) · ex)’ = (x2 + 7x − 7)’ · ex + (x2 + 7x − 7) · (ex)’ = (2x + 7) · ex + (x2 + 7x − 7) · ex = ex · (2x + 7 + x2 + 7x −7) = (x2 + 9x) · ex = x(x + 9) · ex.
Ответ:
f ’(x) = x2 · (3cos x − x · sin x);
g ’(x) = x(x + 9) · ex
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!