ВОПРОС№9:прямая линия и плоскость в пространстве.

Геометрическое место точек х;у на плоскости(R^2) удовлетворяющее уравнению ax+by+c=0 где а^2+b^2 не=0 называется прямой.

ах+ву+с=0 -общее уравнение прямой

у=kx+бета- уравнение прямой через угловой кофицент.

 

x-xA/xB-xA=y-yA/yB-yA

Угол между двумя прямыми в условиях параллельности и перпендикулярности двух прямых.

tgальфа=k^2-k1/1+k1k2

k1=k2 -прямые параллельны

Условия перпендикулярности:

k1*k2=-1

Расстояние от точки до прямой

р(A;L)=(/axA+byA+c/)модуль / корень a^2+b^2

ВОПРОС№10: Определения и основные действия с n-мерными векторами и их свойства.

Определение. Арифметическим n -мерным вектор-столбцом (или просто

n -мерным вектором) называется упорядочный набор из n действительных

чисел (1). Числа i x называются координатами вектора. Порядок чисел суще-

Ственен.

Определение. Произведением n -мерного вектора x на число a?R называ-

ется вектор вида:

Определение. Суммой двух n -мерных векторов и называются

n -мерный вектор

Нулевым вектором называется вектор, у которого все координаты равны

нулю. Он обозначается .

Свойства введённых операций:

1. (коммуникативный закон сложения)

2. (ассоциативный закон сложения)

3.

4. Для любого вектора существует вектор (- )= такой, что

5.

6. Для любых чисел a,b и для любого вектора выполнены равенства:

6.1. a(b ) = (ab) .

6.2. (a + b) = a + b

7. Для любого числа a и для любых векторов выполнено равенство

a( )  a  a .

Множество арифметических n -мерных векторов с введенными операциями

сложения и умножения векторов на действительные числа называется

n -мерным линейным вещественным пространством. Оно обозначается

.

Пространство – это числовая ось, – числовая плоскость и так далее.

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух n-мерных векторов называется число

< >=

Свойства скалярного произведения

1. < > = < >.

2. < +…+ ≥0; <

3. < =

Норма вектора и ее свойство

Определение. Нормой вектора из называется число

Свойства нормы

1. ≥0 и =0 ⇔

2. Для любого числа a и для любого вектора выполняется , в самом деле

3.Для любых векторов выполнено неравенство

ВОПРОС№11:Скалярное произведение векторов и его свойства. Норма вектора

ВОПРОС№12: Определения, основные действия с матрицами и их свойства

Основные понятия

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или у столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде

или, сокращенно,A=(a_ij) (i=1,m, j=1,n) i-номер строки,(т.е.i=1,2,3..m),j-номер столбца.

Матрицу А называют матрицей размера m x n и пишут Аmxn.Числа a_ij составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е.

А=В,если a_ij=b_ij (i=1,m, j=1,n)

Пример:

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О.

В матричном исчислении матрицы О и E играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно). Их вид:

Матрица размера 1х1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом,

т.е. (5)_1х1 есть 5.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается А^Т

 

 

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: (А^Т)^Т=А

Действия над матрицами

Сложение

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц Amxn=(a_ij) Bmxn=(b_ij) называется матрица Cmxn=(c_ij) такая, что c_ij=a_ij+b_ij (i=1,m, j=1,n)

<< Пример 1.2

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение на число

Произведением матрицы. A_mxn=(a_ij) на число k называется матрица B_mxn=(b_ij),такая, что.b_ij=k_*a_ij (i=1,m, j=1,n)

<< Пример 1.3

Матрица -А = (-l)*A называется противоположной матрице А.

Разность матриц А-В можно определить так: А-В=А+(-В). Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1. А+В=В+А

2. А+(В+С)=(А + В) + С

3. А+О=А

4. А-А=О

5. 1*А=А;

6. а*(А+В)=аА+аВ;

7. (а+в)*А=аА+вА

8. а*(вА)=(ав)*А,

где А, В, С — матрицы, а и в-числа.

Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями матриц являются:

· перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

· умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

· прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А ~ В.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю.

Такую матрицу называют канонической, например

Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведение матрицы на матрицу называется матрица такая, что

c_ik=a_i1*b_1k+a_i2*b_2k+…+a_in*b_nk. где (i=1,m, j=1,n)

т. е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-гo столбца матрицы В.

Получение элемента C_ik схематично изображается так:

 

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А*Е=Е*А=А, где А-квадратная матрица, Е-единичная матрица того же размера.

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА. Умножение матриц обладает следующими свойствами:

1. А*(В*С)=(А*В)*С;

2. А * (В + С) = АВ + АС

3. (А+В)*С=АС+ВС;

4. а(АВ) = (аА)В,

если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл. Для операции транспонирования верны свойства:

(A+B)^T=A^T+B^T

(АВ)^Т=В^TА^T

Свойства определителей.

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка.

Свойство 1. («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

Иными словами:

В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя.

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Из свойств 3 и 4 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю.

Действительно,

Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Например,

Свойство 6. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения.

Минором некоторого элемента a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается m_ij

 

Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i + j — четное число, и сознаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается

A_ij: A_ij=(-1)^i+j_*m_ij.

Так A₁₁=+m₁₁,A₃₂=-m₃₂.

Свойство 7. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 7 на примере определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что

В самом деле, имеем

Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.

 

Свойство 8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Так, например, a₁₁A₂₁+a₁₂A₂₂+a₁₃A₂₃=0.

 

 

 

ВОПРОС№13: Квадратные матрицы, их определители и способы их вычисления. Если число столбцов матрицы равно числу ее строк (I = J = N), то такая матрица называется квадратной. В этом разделе мы будем рассматривать только такие матрицы. Среди этих матриц можно выделить матрицы, обладающие особыми свойствами.

Единичной матрицей (обозначается I, а иногда E) называется матрица, у которой все элементы равны нулю, за исключением диагональных, которые равны 1, т.е.

важной характеристикой квадратной матрицы является ее определитель (обозначается det(A)). Определение определителя в общем случае довольно сложно, поэтому мы начнем с простейшего варианта — матрицы A размерностью (2×2). Тогда

Для матрицы (3×3) определитель будет равен

Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент, называется элемент а₁₁:

.

ВОПРОС№14:Метод Гауса и Крамера решения СЛАУ.

Опред.1 Cистема вида , где a_ij – некоторые действительные числа называется система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Опред.2 Элементарные преобразовании системы это такие преобразования системы, когда исходная и преобразованная системы имеют одно и тоже решение.

1⁰ Умножение строки на любое число отличное от 0.

2⁰ Перестановка местами 2-х строк.

3⁰ Прибавление (вычитание) к строке любой другой строки, умноженной на некоторое число.

4⁰ вычеркивание нулевой строки.

Метод Гауса решения СЛАУ.

1⁰приведение исходной системы к системе ступенчатого вида с помощью элементарных преобразований.

2⁰ Решение системы ступенчатого вида.

3⁰ Запись общего решения.

Метод Крамера решения СЛАУ

1⁰ Находим определитель матрицы ∆=|A|

2⁰∆=0 (система не имеет решений)

3⁰ Находим ∆х; х=

4⁰ Находим ∆у; у=

5⁰ Находим ∆z; z

6⁰ Записываем ответ.