Непрерывность функций. Классификация точек разрыва.

Пусть f(x) определена в некоторой области Д, пусть x₀ÎR

Ф-я f(x) называется непрерывной в точке x₀, если выполнены 2 условия:

1. f(x) определена в точке x₀

2. lim_x->x0f(x) = f(x₀)

если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то ф-я f(x) называется разрывной в точке x₀, а сама точка называется точкой разрыва функции.

Функция f(x) называется непрерывной в области Д, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Определение 2. Ф-я f(x) называется непрерывной в точке x₀, если бесконечно малому приращению Dx аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.

Dx Dy

Т.е. f(x₀+Dx) – f(x₀) 0 при Dx

Из этого определения следует, что графиком непрерывной в области Д функции будет непрерывная линия. Т.е график этой функции можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

1. Все основные элементарные ф-ии, кроме tgx, ctgx, 1/x^a (a>0) непрерывны.

2. Все основные элементарные ф-ии непрерывны в своей области определения

3. f(x)=E(x)=[x] – разрывна во всех точках x₀ÎZ

4. f(x) = (x) = {0, x рациональное число 1, x – нерациональное разрывна во всех точках

5. f(x) = { x², x<=1 3-x, x>1 x=1 точка разрыва

6. f(x) = { x², x<=1 2-x, x>1 непрерывна

7. f(x) = sinx/x x=0 точка разрыва

f(x) = { sinx/x, x¹0 1,x=0 непрерывна

 

Односторонняя непрерывность.

Функция f(x) называется непрерывной слева (справа), если

1. f(x) определена в точке x₀

3. lim_x->x0-0f(x) = f(x₀) (lim_x->x0+0f(x) = f(x₀))

определение.

Пусть x₀ точка разрыва ф-ии f(x) тогда, если в точке x₀ существует КОНЕЧНЫЕ односторонние пределы lim_x->x0-0f(x) = а <¥ и lim_x->x0+0f(x) = b <¥

То точка x₀ называется точкой разрыва первого рода, при этом, если a=b, то эта точка – точка устранимого разрыва. Во всех остальных случаях точка x₀ – точка разрыва второго рода.

 

СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ.

Теорема 1. Если ф-я f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a,b], то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения.

Теорема 2. (о сохранении знака). Если ф-я непрерывна в некоторой О(x₀) – окрестности и f(x₀)¹0, то существует О_d(x₀) – окрестность, в которой знаки f(x₀) и f(x) совпадают.

Теорема 3. (о прохождении через 0). Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)f(b)<0, т.е. на концах отрезка ф-я принимает значения разных знаков. Тогда внутри интервала [a,b] существует точка С такая, что f(C) = 0. Замечание: если ф-я f(x) строго монотонная, то такая точка С единственная.

Теорема 4. (о промежуточных значениях). Если f(x) непрерывна на [a,b] и f(a) = A ¹ B = f(b), тогда для любой точки СÎ[А,В] существует x₀Î[a,b] такое, что f(x₀) = C. Замечание: если ф-я f(x) строго монотонна на [a,b], то x₀ – единственная.

Теорема 5. Пусть ф-я f(x) g(x) непрерынвы в точке x₀, тогда:

1. f(x)+-g(x) непрерывна в точке x₀

2. f(x)g(x) непрерывна в точке x₀

3. f(x)/g(x) непрерывна в точке x₀ если g(x)

непрерывность сложной и обратной функции.

Пусть u = j(x) – непрерывна на [a,b] и y = f(u) непрерывна на [c,d], содержащем все значения ф-ии j(x) на [a,b].

Теорема. Если ф-я непрерывна и строго монотонна на [a,b], то обратная ф-я x = f^-1(y) непрерывна на промежутке [f(a),f(b)].