Системы лау. Методы решения невырожденных систем.

Системой m линейных алгебраических уравненией от n неизвестных (переменных) называется совокупность формальных равенств вида

 

(1)

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +... + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +... + a_2nx_n = b₂

_{.....................................}

a_m1x₁ + a_m2x₂ +... + a_mnx_n = b_m

где a_ij, b_i Î R – заданные числа, х – формальный символ

1 <= i <= m; 1<= j <= n

Если все b_i = 0, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной. С каждой системой связаны 2 матрицы.

А =

И =

Которые называются матрицей системы и расширенной матрицей системы соответственно.

Рассмотрим матрицы-столбцы

Х = B=

Т.к. пара матриц А и Х согласованно, то их можно перемножить:

АХ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +... + a_1nx_n b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +... + a_2nx_n = b₂

a_m1x₁ + a_m2x₂ +... + a_mnx_n b_m

используя равенства матриц систему (1) теперь можно записать в виде

(2) АХ = В

Такая запись системы называется матричной.

Решением системы (1) называется любая упорядоченная совокупность n-чисел (с₁, с₂,... с_n), при подстановке которых вместо (x_1, x_2,... x_n) соответственно, каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, в противном случае – несовместной. Решить систему – означает найти все ее решения.

2 системы называются эквивалентными или равносильными, если у них одинаковые множества решений.

Решение невырожденных систем.

Если m=n то матрица А = А_{nxn –} квадратная и имеет определитель det(A) = D.

Если D¹0, то система называется невырожденной, в противном случае – вырожденной.

Пусть система 1 невырожденная и записана в матричном виде АХ = В.

Т.к. D¹0, то А имеет А^-1

И, умножая матричное ур-е АХ = В слева на А^-1, получим

Х = А^-1В (3)

Решение системы по этой формуле называется матричным методом решения систем (методом обратной матрицы)

Формула Крамера

x_j = где - det(A),

D_j – det, полученный из det(A) заменой j-того столбца столбцом свободных членоы.

Метод Гаусса

Суть метода Гаусса основана на след теореме: элементарные преобразования над строками расширенной матрицы системы не изменяют множетсва ее решений. Суть метода заключается в том, чтобы при помощи элементарных преобразований привести матрицу системы к наиболее простому виду. Например привести матрицу к такому виду, чтобы в каждом нижестоящем уравнении было хотя бы на одну переменную меньше, чем в вышестоящей. Если преобразованная матрица приведена к треугольному виду, то система имеет единственное решение, начиная с последнего ее уравнения последовательно находят значения всех ее неизвестных.

Для нахождения всех решений системы в трапециевидной матрице системы A₃ выбирают любой базисный минор. Столбцы в выбранном миноре соответствуют переменным, которые называются базисными, остальные перемнные называются свободными. Придаваем свободным переменным произвольные значения с₁, с₂, с_n-k, находим общее решение системы.