Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-12-12 | 1675 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Линейная зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости двух и трех векторов.
Вектор называется линейной комбинацией векторов , ,…, , если он получен из этих векторов проведением над ними линейных операций его можно представить в виде , где , ,…, − некоторые числа. Это равенство называют также разложением вектора по векторам , ,…, .
Векторы , ,…, являются линейно зависимыми, если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Например, . В противном случае (т.е. ни один из векторов , ,…, не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных) векторы являются линейно независимыми.
Пара векторов на плоскости является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарные.
Тройка векторов в пространстве является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.
Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов
Для того что бы 2 не нулевых вектора были колинеларны необходимо и достаточно что бы они были линейно зависимы.
Необходимость:
Достаточность:
Необходимое и достаточное условие компланарности векторов:
Для того что бы 3 не нулевых вектора были компланарными необходимо и достаточно что бы они были линейно зависимы.
Необходимость: дано:
Очевидно если хотя бы пара из них колинеарны, следовательно они компланарны т.е. линейно зависимы
Достаточность:
Формулы деления векторов в данном отношении.
Точка М делит отрезок АВ в отношении λ, если выполняется равенство .
Если , , , то
, , .
Особый интерес представляет случай, когда точка М делит отрезок АВ пополам. Тогда =1 и координаты середины отрезка вычисляются по формулам
|
, , .
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними .
Свойства скалярного произведения:
1) (коммутативность);
2) (дистрибутивность);
3) , если или , или перпендикулярно ;
4) .
Первые три свойства показывают, что скалярное умножение суммы векторов на другую сумму можно производить по обычному правилу умножения многочленов.
Найдем выражение скалярного произведения векторов и в декартовых координатах. Для этого запишем разложение векторов и в базисе , , и с учетом свойства скалярного произведения получим
Учитывая, что
получим
Таким образом, скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.
Скалярное произведение векторов используется при решении ряда задач:
1) нахождение угла между векторами и :
;
2) вычисление проекции одного вектора на направление другого вектора:
;
3) проверка перпендикулярности двух векторов:
׀ , т.е. ;
4) вычисление работы постоянной силы вдоль прямолинейного участка пути (вектор перемещения ):
.
Определение точки пересечения прямой и плоскости
Для нахождения точки пересечения решаем систему из трех уравнений. Если решение единственное, то оно является корд. Точки пересечения. Если решений бесконечное мно-во, то прямая принадлежит плоскости. Если решений нет, то прямая не пересекается с плоскостью.
Скрещевающиесь прямые
Линейная зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости двух и трех векторов.
Вектор называется линейной комбинацией векторов , ,…, , если он получен из этих векторов проведением над ними линейных операций его можно представить в виде , где , ,…, − некоторые числа. Это равенство называют также разложением вектора по векторам , ,…, .
Векторы , ,…, являются линейно зависимыми, если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Например, . В противном случае (т.е. ни один из векторов , ,…, не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных) векторы являются линейно независимыми.
|
Пара векторов на плоскости является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарные.
Тройка векторов в пространстве является линейно зависимой тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!