Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
 2017-12-12 |
 256 |
из
5.00
|
Заказать работу |
|
|
|
|
Закон больших чисел. Под законом больших чисел понимают общий принцип, в силу которого совместное действие случайных факторов приводит при определенных общих условиях к результату почти независящему от случая. Этот принцип выражается рядом теорем, которые основываются на неравенстве Чебышева.
Неравенство Чебышева. Вероятность того, что модуль отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше любого положительного * E * и ровна или больше разности 1-D(x)/E2
P(Ix-M(x)I<E)=> 1-D(x)/E2
Теорема Чебышева. Случайные величины принимаютзначения, зависящие от многих причин, учесть которые не представляется возможности. Поведение суммы достаточно большого числа случ. величин при некоторых условиях утрачивают случ. характер и становятся законом.
Если случ. величины x1,x2,…xn независимы имеет математ. ожидание и дисперсии,каждая из которых ограничена одним и тем же числом С, то для любого положительного числа Е выполняется неравенство:
P(│1∕n∑Xk - 1∕n∑M(Xk)│<E│)≥1-C∕n*E2 ,при к= от 1 до n
Введем понятие сходимости по вероятности. Случ.величины x1....xn сходятся по вероятности к случайной величине Х,если для любого числаЕ выполняются:
LimP(│xn-x│<E)=1
n->∞
Следствие 1:если Случ.величиныx1....xn удовлетворяют условиям теоремы Чебышева, то:
LimP(│1∕n∑Xk - 1∕n∑M(Xk)│<E)=1
n->∞
т.е. среднее арифметическоезначение случ. величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их мат.ожиданий.
Теорема Чебышева верна для дискретных и непрерывных случ. величин.
Следствие2:среднее арефмитическое последовательности попарно независимых величин, дисперсии которых равномерно ограничены и которые имеют одно и тоже мат. ожидание. М(хк)=а,к от 1 до n сходятся по вероятности по мат.ожиданию к а, если Е-любое положит.число.
LimP(│1∕n∑Xk - а│<E)=1
|
|
n->∞
Теорема Бернулли. Если m-число появлений события а в n-независимых испытанияхи p-вероятность появления события а в каждых испытаниях, то при достаточно больших n близка вероятность того,что модуль отклонения относит.величин меньше любого Е,но>0
LimP(│m∕n-p│<E)=1
41. Понятие о центральной предельной теореме.Теорема Ляпунова.Локальная теорема Лапласа.Интегральная теорема Лапласа.
Многие задачи теории вероятности связаны с изучением суммы независимых величин,которые при определенных условиях имеют распределение близкое к нормальному.
Теорема Ляпунова. Если х1…хn независимые случ величины имеющие одно и тоже распределение с математическим ожиданием а и дисперсией δ2=D(х) то при неограниченном возрастании n закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному при nнеогранич.возрастающ.
Локальная теорема Лапласа. если вероятность появления события а в каждом из nнезависимых испытаний ровна одной и той же р(0<p<1),то Рк,n того,что во всех этих испытаниях событие а появится к разприближенно выражается формулой:
Рк,n= 
-(k-np)2/2npq
Рк,n= 
*φ(x)
x = 
φ(x)= 
* 
-x2/2
Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность события а в каждом изn-независимых испытании ровна р,0<p<1 то Рк,n(к1,к2) того что в этих испытаниях событие а появится не менее к1 раз и не более к2 раз.Приближенно определяется формулой Рк,n(к1,к2)= 
-х2/2dx
x1=-(k1-np)/ 
npq
x2=(k2-np)/ npq
В этом соотношении Рn(к1,к2)= ф(х2)-ф(х1)
ф(х)- функция Лапласа из таблиц.
42.Векторные случайные величины.Закон распределения двумерной случ.величины.Функция распределения вероятностей двумерной случайной величины.
Векторные случайные величины. На ряду с одномерными рассматриваются еще и многомерные случвеличины.Это векторы,координаты которых явл однородными случвеличинами.Это векторные величины.
х =(х1(ω), х2(ω)… хn(ω))
вектор х(ω) геометрически интерпретируется как случайная точка в пространстве Rnкоторая зависит от элементарного события. Закон распределения двумерной случ.величины.Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (Х, Y) имеет вид таблицы с двойным входом, задающей перечень возможных значений каждой компоненты и вероятности p (xi, yj), с которыми величина принимает значение (xi, yj):
|
|
| Y | Х | |||||
| x 1 | x 2 | … | xi | … | xn | |
| y 1 | p (x 1, y 1) | p (x 2, y 1) | … | p (xi, y 1) | … | p (xn, y 1) |
| … | … | … | … | … | … | … |
| yj | p (x 1, yj) | p (x 2, yj) | … | p (xi, yj) | … | p (xn, yj) |
| … | … | … | … | … | … | … |
| ym | p (x 1, ym) | p (x 2, ym) | … | p (xi, ym) | … | p (xn, ym) |
При этом сумма вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1.
Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распреде-ления ее составляющих. Действительно, событие Х = х 1 представляется собой сумму несовместных событий (X = x 1, Y = y 1), (X = x 1, Y = y 2),…, (X = x 1, Y = ym), поэтому
р (Х = х 1) = p (x 1, y 1) + p (x 1, y 2) +…+ p (x 1, ym) (в правой части находится сумма вероятностей, стоящих в столбце, соответствующем Х = х 1). Так же можно найти вероятности остальных возможных значений Х. Для определения вероятностей возможных значений Y нужно сложить вероятности, стоящие в строке таблицы, соответствующей Y = yj. Пример 1. Дан закон распределения двумерной случайной величины:
| Y | X | ||
| -2 | |||
| -0,8 | 0,1 | 0,3 | 0,1 |
| -0,5 | 0,15 | 0,25 | 0,1 |
Найти законы распределения составляющих.
Решение. Складывая стоящие в таблице вероятности «по столбцам», получим ряд распре-деления для Х:
| Х | -2 | ||
| р | 0,25 | 0,55 | 0,2 |
Складывая те же вероятности «по строкам», найдем ряд распределения для Y:
| Y | -0,8 | -0,5 |
| p | 0,5 | 0,5 |
Функция распределения вероятностей двумерной случайной величины. Функцией распределения F (x, y) двумерной случайной величины (X, Y) называется вероятность того, что X < x, a Y < y: F (х, у) = p (X < x, Y < y). Замечание. Определение функции распределения справедливо как для непрерывной, так и для дискретной двумерной случайной величины.
Свойства функции распределения.
1) 0 ≤ F (x, y) ≤ 1 (так как F (x, y) является вероятностью).
2) F (x, y) есть неубывающая функция по каждому аргументу:
F (x 2, y) ≥ F (x 1, y), если x 2> x 1;
F (x, y 2) ≥ F (x, y 1), если y 2> y 1.
Доказательство. F (x 2, y) = p (X < x 2, Y < y) = p (X < x 1, Y < y) + p (x 1 ≤ X < x 2, Y < y) ≥
≥ p (X < x 1, Y < y) = F (x 1, y). Аналогично доказывается и второе утверждение.
|
|
3) Имеют место предельные соотношения:
а) F (-∞, y) = 0; b) F (x, - ∞) = 0; c) F (- ∞, -∞) = 0; d) F (∞, ∞) = 1.
Доказательство. События а), b) и с) невозможны (так как невозможно событие Х<- ∞ или Y <- ∞), а событие d) достоверно, откуда следует справедливость приведенных равенств.
4) При у = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Х:
F (x, ∞) = F 1(x).
При х = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Y:
F (∞, y) = F 2(y).
Доказательство. Так как событие Y < ∞ достоверно, то F (x, ∞) = р (Х < x) = F 1(x). Аналогично доказывается второе утверждение.
|
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!