Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-12-11 | 256 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
S i = h f (x i), i = 1,2,..., n; . | (6.3) |
и в методе средних прямоугольников
S i = h ), i = 0,1,2,..., n -1; , | (6.4) |
где , i = 0,1,2,..., n -1.
Приведенные формулы для S являются вычислительными формулами методов прямоугольников.
На рис.6.5. приведена блок-схема вычисления определенного интеграла методом средних прямоугольников.
Рис.6.5. Алгоритм метода средних прямоугольников
Алгоритмы для методов левых и правых прямоугольников отличаются от изображенного на рис.6.5 лишь одним блоком (он выделен жирной линией). Для метода левых прямоугольников здесь должно стоять X=A, для метода правых прямоугольников должно быть X=A+h.
Оценим точность этих методов. В методе средних прямоугольников для каждого интервала разбиения получаем c учетом выражения для S i в (6.4):
. | (6.5) |
Для оценки R i разложим функцию f (x) в ряд Тейлора около средней точки
(6.6) |
В малой окрестности точки этот ряд с высокой точностью представляет функцию f (x) при небольшом количестве членов разложения. Поэтому, подставляя под знак интеграла вместо f (x) ее тейлоровское разложение (6.6) и интегрируя его почленно, можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью. T.е. точное значение интеграла на интервале [ x i, x i+1] равно:
Подставим пределы интегрирования:
или, так как :
Все члены полученного при интегрировании ряда, имеющие (x - x i) в четной степени, обращаются в нуль. Поэтому получаем:
(6.7) |
Сравнивая (6.5) и (6.7), можно записать выражение для погрешности R i:
При малой величине шага интегрирования h основной вклад в значение R i дает первое слагаемое, которое называется главным членом погрешности вычисления интеграла на интервале [ x i, x i+1] и обозначается R 0i:
. | (6.8) |
Главный член полной погрешности для интеграла на всем промежутке [ a,b ] определится как сумма:
|
. | (6.9) |
Здесь использован тот же метод средних прямоугольников, но для функции .
Степень шага h, которой пропорциональна величина R 0, называется порядком метода интегрирования. Как видно из (6.9 ), метод средних прямоугольников имеет второй порядок.
Аналогично проведем оценку метода левых прямоугольников. Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x = x i:
Интегрируя это разложение почленно на интервале [ x i, x i+1] получаем
Здесь первое слагаемое есть приближенное значение интеграла, вычисленное по методу левых прямоугольников (см. формулу (6.2)), а второе слагаемое является главным членом погрешности:
. | (6.10) |
Тогда на всем промежутке интегрирования [ a,b ] главный член погрешности R 0 получается суммированием частичных погрешностей R 0i:
, | (6.11) |
т.е. метод левых прямоугольников имеет первый порядок. Метод правых прямоугольников также имеет первый порядок.
Сравнение (6.9) и (6.11) показывает, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность по сравнению с методом левых или правых прямоугольников и за счет коэффициента в знаменателе (24 > 2), и за счет интеграла от производной, т.к. для большинства функций выполняется неравенство
.
Следовательно, использование метода средних прямоугольников является предпочтительным, но использовать его удается не всегда. Если значения f (x) определяются из эксперимента в дискретном наборе узлов, то метод средних прямоугольников напрямую применить нельзя из-за отсутствия значений f (x) в срединных точках. В этой ситуации приходится применять либо какие-нибудь средства интерполяции, что приводит к дополнительным расходам машинного времени и памяти, либо другие методы численного интегрирования.
Метод трапеций
В этом методе подынтегральная функция f (x) на интервале [ x i, x i+1] заменяется полиномом первой степени, т.е. наклонной прямой линией. Обычно эта прямая проводится через значения f (x) на границах интервала (рис.6.6). В этом случае приближенное значение частичного интеграла определяется площадью трапеции:
|
Рис.6.6. Геометрическая интерпретация метода трапеций | , т.е. , а численное значение интеграла на всем [ a,b ] . Это вычислительная формула метода трапеций. | (6.12) (6.13) |
Блок-схему алгоритма метода трапеций предлагается студентам разработать самим.
Оценим погрешность R i. Для этого разложим функцию f (x) в ряд Тейлора около точки x i:
(6.14) |
Тогда
(6.15) |
С помощью разложения (6.14) вычислим подынтегральную функцию в точке x i+ h:
откуда
(6.16) |
Подставляя произведение (6.16) в выражение (6.15), получим
(6.17) |
Сравнивая (6.12) и (6.17), получаем выражение для главного члена погрешности частичного интеграла
.
Тогда главный член полной погрешности метода трапеций имеет вид
, | (6.18) |
т.е. метод трапеций имеет также второй порядок, но его погрешность в два раза больше, чем в методе средних прямоугольников, поэтому, если подынтегральная функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго порядка использовать метод средних прямоугольников.
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!