Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-12-11 | 191 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Постановка задачи, общая характеристика методов
Методы прямоугольников
Данные методы относятся к простейшим из класса методов Ньютона-Котеса. В них подынтегральная функция f (x) на каждом интервале разбиения заменяется полиномом нулевой степени, т.е. константой. Такая замена является неоднозначной, т.к. константу можно выбрать равной значению f (x) в любой точке данного интервала разбиения.
В любом случае значение частичного интеграла определяется как произведение длины интервала разбиения на выбранную константу, т.е. как площадь прямоугольника. В зависимости от способа выбора аппроксимирующей константы различают методы левых, средних или правых прямоугольников (рис.6.4).
Левые | Средние | Правые |
Рис.6.4. Геометрическая интерпретация методов прямоугольников
Введем следующие обозначения: точку a на оси OX обозначим через x 0, точку b - через x n, а точки разбиения промежутка [ a,b ] - через x 1, x 2,..., x n-1. Предполагается, что длина интервала разбиения постоянна на всем [ a,b ]. Обозначим ее через h:
; x i = x i-1 + h, i =1,2,..., N.
Тогда в методе левых прямоугольников площадь каждого i -го прямоугольника
S i = h f (x i), i = 0,1,2,..., n -1, | (6.2) |
а для всего промежутка [ a,b ]:
Метод трапеций
В этом методе подынтегральная функция f (x) на интервале [ x i, x i+1] заменяется полиномом первой степени, т.е. наклонной прямой линией. Обычно эта прямая проводится через значения f (x) на границах интервала (рис.6.6). В этом случае приближенное значение частичного интеграла определяется площадью трапеции:
Рис.6.6. Геометрическая интерпретация метода трапеций | , т.е. , а численное значение интеграла на всем [ a,b ] . Это вычислительная формула метода трапеций. | (6.12) (6.13) |
Блок-схему алгоритма метода трапеций предлагается студентам разработать самим.
|
Оценим погрешность R i. Для этого разложим функцию f (x) в ряд Тейлора около точки x i:
(6.14) |
Тогда
(6.15) |
С помощью разложения (6.14) вычислим подынтегральную функцию в точке x i+ h:
откуда
(6.16) |
Подставляя произведение (6.16) в выражение (6.15), получим
(6.17) |
Сравнивая (6.12) и (6.17), получаем выражение для главного члена погрешности частичного интеграла
.
Тогда главный член полной погрешности метода трапеций имеет вид
, | (6.18) |
т.е. метод трапеций имеет также второй порядок, но его погрешность в два раза больше, чем в методе средних прямоугольников, поэтому, если подынтегральная функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго порядка использовать метод средних прямоугольников.
М е т о д С и м п с о н а
В этом методе подынтегральная функция заменяется интерполяционным полиномом второй степени - т.е. параболой, проходящей через точки , , , где i = 0,1,2,..., n -2; , т.е.
(6.20) |
Поэтому данный метод еще называют методом парабол.
Для записи полинома воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона (см. раздел 5.Аппроксимация зависимостей) для трех узлов (на примере i =0, i +1=1, i +2=2):
(6.21) |
где f 01, f 012 - разделенные разности:
; | (6.22) |
h - шаг разбиения промежутка интегрирования.
Введем новую переменную z = x - x 0. Тогда x = z + x 0 и полином (6.21) принимает вид:
. | (6.23) |
Интеграл от полинома (6.23) с учетом (6.22) имеет вид:
(6.24) |
Соотношение (6.24) называют квадратурной формулой Симпсона.
Для всего промежутка интегрирования [ a,b ] при четном значении n количества интервалов его разбиения эта формула имеет вид:
(6.25) |
Для удобства программирования эту формулу можно записать так:
,
причем суммирование идет по нечетным значениям i и по четным значениям j.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!