Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-12-11 | 197 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
, | (6.1) |
где f (x) - подынтегральная функция, непрерывная на [ a,b ];
a,b - нижний и верхний пределы интегрирования. Геометрически вычисление определенного интеграла интерпретируется как вычисление площади, ограниченной осью OX и графиком f (x) на промежутке [ a,b ] изменения х (рис.6.1). К численному вычислению интеграла (численному интегрированию) обращаются в случаях, когда невозможно аналитически записать первообразную интеграла через элементарные функции или если такая запись имеет очень сложный вид. | Рис.6.1, Геометрическая интерпретация определенного интеграла |
Суть большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции f (x) аппроксимирующей функцией , для которой можно легко записать первоообразную в элементарных функциях, т.е.
,
где S - приближенное значение интеграла (6.1);
R - погрешность численного вычисления интеграла J.
При численном интегрировании независимо от выбранного метода необходимо вычислять приближенное значение S интеграла (1) и оценивать погрешность R. В большинстве методов промежуток интегрирования [ a,b ] разбивается на некоторое число N интервалов, на каждом из которых подынтегральная функция f (x) аппроксимируется и вычисляется частичный интеграл, а конечный результат S есть сумма всех частичных интегралов (рис.6.2).
Рис.6.2. Геометрическая сущность численного интегрирования | Рис.6.3. Зависимость погрешности от числа разбиений |
Используемые на практике методы численного интегрирования можно сгруппировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции.
1-я группа: методы Ньютона-Котеса. Они основаны на полиномиальной аппроксимации. Методы этой группы отличаются друг от друга степенью используемого полинома, от которой зависит количество узлов, в которых необходимо вычислять значения подынтегральной функции f (x). Алгоритмы этих методов просты и легко поддаются программной реализации.
|
2-я группа: сплайновые методы. Эти методы различаются типами выбранных сплайнов. Такие методы имеет смысл использовать в задачах, где алгоритмы сплайновой аппроксимации применяются на многих этапах обработки данных.
3-я группа: методы Гаусса-Кристоффеля. Это методы наивысшей алгебраической точности. Они используют не равноотстоящие узлы, расположенные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность интегрирования. Алгоритмы этой группы методов требуют большей оперативной памяти ЭВМ, чем алгоритмы 1-ой группы.
4-я группа: методы Монте-Карло. В них используется вероятностный, случайный выбор узлов аппроксимации.
5-я группа: это специальные методы, специализированные под данный вид подынтегральной функции. Они характеризуются высокой точностью, но и большой сложностью алгоритмов и программной реализации.
При увеличении числа N, т.е. при уменьшении длины интервала разбиения, погрешность аппроксимации R будет уменьшаться, но при этом будет возрастать погрешность суммирования Rs частичных интегралов. Начиная с некоторого N o, эта погрешность становится преобладающей, и тогда суммарная погрешность = R+Rs численного интегрирования будет возрастать (рис.6.3.). Поэтому не следует считать, что неограниченное увеличение N будет давать все более точный результат.
Методы прямоугольников
Данные методы относятся к простейшим из класса методов Ньютона-Котеса. В них подынтегральная функция f (x) на каждом интервале разбиения заменяется полиномом нулевой степени, т.е. константой. Такая замена является неоднозначной, т.к. константу можно выбрать равной значению f (x) в любой точке данного интервала разбиения.
В любом случае значение частичного интеграла определяется как произведение длины интервала разбиения на выбранную константу, т.е. как площадь прямоугольника. В зависимости от способа выбора аппроксимирующей константы различают методы левых, средних или правых прямоугольников (рис.6.4).
|
Левые | Средние | Правые |
Рис.6.4. Геометрическая интерпретация методов прямоугольников
Введем следующие обозначения: точку a на оси OX обозначим через x 0, точку b - через x n, а точки разбиения промежутка [ a,b ] - через x 1, x 2,..., x n-1. Предполагается, что длина интервала разбиения постоянна на всем [ a,b ]. Обозначим ее через h:
; x i = x i-1 + h, i =1,2,..., N.
Тогда в методе левых прямоугольников площадь каждого i -го прямоугольника
S i = h f (x i), i = 0,1,2,..., n -1, | (6.2) |
а для всего промежутка [ a,b ]:
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!